姜树生：现行统编中学数学教科书问题很多

　　原标题：姜树生：现行统编中学数学教科书问题很多

　　看点 教科书是学生在学校获得系统知识，教师进行教学的主要材料，然而在下文作者UC Berkeley 数学博士姜树生看来，在现行统编中学数学教科书中，仍存在一些基本数学概念定义不严谨、内容设置不合理等亟待解决的问题。

　　本文转载自公众号：风云之声 (ID: fyvoice)

　　文丨姜树生 编丨May

　　如我们以前所介绍的，四年多来数学教育技术讨论班系统地研究了现行中学数学统编教科书，从头到尾过了至少两遍，参看了人教版、北师大版等各种版本，并及时跟进新版。

　　原本计划最终给出一个系统的研究报告, 但现在看来这样一个报告没有人能有耐心读下来，因为问题太多了。哪里有严重的问题？如果反过来问“哪里没有严重的问题”倒还容易回答些。

　　因此，本文采用鲁迅写《马上日记》的方式，仅摘取几个“精彩”片段供大家欣赏。

　　例0. 小学教科书的内容

　　初中数学课本中的一些课题如图形认识初步、概率初步等在小学教程中都有，几乎没有新内容(if at all)，而且也没有深化，仍是常识性的。还有轴对称、有效数字等内容也是小学学过的。

　　

　　图源：浙教版初中数学6.1 几何图形

　　还有一些段落像是给低幼儿童写的，如“数字1与字母X的对话”。

　　但有时又反过来，例如人教版七年级上册2.1节，第一个问题就要求学生自己列出方程，理由是“小学已经学过简单的方程”。

　　例1. 多边形

　　人教版七年级下册中多边形的定义是“由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形”，

　　华师大版七年级下册中的定义与此一致，

　　北师大版八年级上册、华沪科版八年级下册中的定义加了“封闭”二字，

　　浙教版八年级下册中的定义是“边数为3的多边形角三角形，边数为4的多边形叫四边形。边数为5的多边形叫五边形，……边数为n的多边形叫n边形”。

　　不管按哪个定义，下图是多边形。

　　

　　此图为原文配图

　　对于这个漏洞，北师大版和浙教版教材中有注释，指明其教科书中所说的多边形都是指凸多边形，沪科版教材的注释还定义了凸多边形的概念。而苏教版干脆没有定义直接用多边形。

　　在中学教科书中引入凸性，有几个教师能讲，又有几个学生能听懂？而且书中关于一般多边形的唯一定理是“多边形内角和定理”，它本不需要凸性。

　　但人教版中多边形内角的定义是“多边形相邻两边组成的角叫做它的内角”，这又是一个漏洞。其他版本也没有正确的定义，而且没有解释"内”字的意义。

　　详情可参看[Zou1](该文曾投到《数学通报》）。

　　对于一般的多边形，要写好是有难度的。但如果没有这个能力，起码可以不写，总比误人子弟强。况且这对于一般的中学生并非重要到不可缺少的程度，以往的一些教科书中没有多边形内角和定理，也未见对于学生的几何素质有显著的不良影响。

　　例2. 全等

　　人教版八年级上册第11章中全等的概念是这样讲的：“形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。”“全等是'一模一样’‘完全相等’的意思吗?”“不考虑图形的位置时，可以这么理解。”

　　什么叫“能够重合”?若对做法没有限制，三角形和圆也能“重合”；但若限制不当，全等三角形也不能“重合”。

　　

　　图源: 沪科版初中数学初二数学上册

　　一个科学的术语，是有精准的科学意义的，需要一个并不平凡的学习过程才能理解，而不是“自来就懂”的。用非科学的术语(如“形状”、“大小”、“能够重合”、“一模一样”、“完全相等”、“位置”等)来解释科学术语(如“全等”)，只会使学生得到含义模糊似懂非懂的知识，而且对于培养学生严格的科学态度不利甚至有害。

　　就以“全等”为例，从欧几里德的《几何原本》直到1980年代我国的科书，都是从三角形全等的概念(三对对应边分别相等，三对对应角也分别相等)开始，待把三角形全等讲得较透彻了再进一步讲四边形等图形的全等，再往后才进一步讲更一般的图形的全等(参看[Cheng1])。大部分人终生只学过三角形全等，这也比什么都不懂强。

　　近年来我对学生经常担忧的，不是不懂而是自以为懂。

　　人教版中三角形全等的判定定理是这样引入的：通过画图“探索”，其实还要将一个三角形剪下来“放到”另一个三角形上(怎么“放”没有说)。这样就“得到”判定三角形全等的多个方法了。不过又加上用“角边角”证明“角角边”这样一件多余的事。

　　就讲了这么多，然后就是做习题了。

　　编者仿佛在说：数学很简单一看就懂，一学就会。

　　全等三角形是初等几何中的一个重要且不平凡的基本概念，要讲好并不容易，而把一般的全等概念讲好更是有难度的，对于学术水平的要求也较高。连三角形全等都没写明白，为什么还要写一般的全等呢？

　　例3. 代入

　　“代入”是一个专业术语，多数学生需要较长时间的学习才能够掌握。而一旦掌握代入的概念，对于以后代数的学习(如复合函数、参数方程等)会有很大的促进作用。

　　老版的教科书(包括民国时代的直到1980年代的)对于代入概念的引入都非常谨慎，先讲多项式的值、解方程的代入法，多项式的变元代换等，在此基础上引入“代入”这一术语并做充分的解释。有的教科书甚至避免使用“代入”这一术语。

　　但现行统编教科书却不然，例如人教版七年级上册2.2节，在例2中冷不丁地讲了多项式化简然后代入求值，在此之前甚至没有出现过“代入”这个词，仿佛这应该是学生本来就懂的。苏教版，沪科版，浙教版，京教版等也都是使用“代入”一词而没有释义(详见[Maqn1])。

　　编者们原来就是这样“避难就易”的。

　　用这样的教科书讲课，真难为中学数学教师们了。

　　例4. 函数

　　函数的内容在现行统编教科书中占相当大的比例。

　　

　　图源：浙教版初中数学初三数学上册

　　以人教版为例，初中就有三章（第14章一次函数，第17章反比例函数，第26章二次函数)，实际上第6章（平面直角坐标系）也与此有关。由于各章不连贯，每章开始都要复习，难怪常见学生嫌烦，教师嫌课时不够。

　　人教版高中第一册完全是讲函数(第1章集合与函数概念，第2章基本初等函数，第3章函数的应用)，但没有三角函数。

　　对各函数的讲法大体上是按照统一的程式：首先通过实例引入；然后做一些说明（但并不给出精确的定义）；然后是打点子画图；然后是由图中“看出”一些性质（但不讲理由）；然后就是做题了。

　　通过实例引入原本是个好方法，但未必适合所有的函数。硬要教条地对每个函数都如此讲，难免出现牵强或费解的内容。例如引入指数函数用的例子，有的书上是GDP，有的书上是放射性衰变。

　　至于打点子画图，本来就不是高明的方法，反复使用更是浪费时间。何况需要用计算器或电脑计算（尤其是指数函数、对数函数等），既然如此，为何不直接用计算器或电脑画图？真是现代版的“郑人买履”。

　　早年中学数学教程中没有函数，到民国后期高中才有了一点（占比例很小），这丝毫不妨碍民国时期产生很多杰出的科学家。这种状况持续到1980年代。现在的统编教科书虽然有这么多函数的内容，但都是在低水平上多次重复，再加上内容分散，几乎是碎片化，效率奇低，最终学得仍很肤浅，对于函数的应用更是只知道点皮毛。而况一些基本概念如复合函数、反函数等都没有，反三角函数当然更没有，很多地区甚至不讲三角函数（只有“三角”没有“函数”），所以学微积分时还要补。

　　

　　图源：北师大版九年级数学下册

　　我们跟随英伯兄去欧洲考察中学数学教育后，分别就英国、法国和以色列的中学数学教育写了报告（[Li1]，[Zhang-Wen1]，[Zhang1]）。总体而言，这些国家好的高中，学生的数学水平约比我国同龄人高3年。那么我国学生耽误在哪里呢?别的不说，仅函数就浪费了大约1年的时间（还不算高考复习）。

　　如果学生较早（例如初三）学习微积分，在此前不学函数也没有关系，在学习微积分时会系统深入地理解函数。国外的一些中学，以及我国早期的一些中学（如我当年读的中学）都有这样的学生。

　　顺便说，碎片化的问题在几何中更为严重。以人教版为例，初中平面几何有下列10章：第3章图形认识初步，第5章相交线和平行线，第7章三角形，第11章全等三角形，第12章轴对称，第18章勾股定理，第19章四边形，第23章旋转，第24章圆，第27章相似。从初一讲到初三，课时比早年的教程还多，但水平，从严谨性、透彻性、系统性、深入性、逻辑性、几何直观、证明、作图等各方面看，都差远了。

　　例5. 相似

　　人教版九年级下册第27章中相似的概念是这样讲的：“我们把形状相同的图形叫做相似图形。”“两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。"

　　

　　图源：人教版初中数学教材九年级下册课本

　　“对比”两个正三角形，可以看到对应角相等，对应边的比相等。对于两个正六边形也有类似的结论，“请你自己证明”。“实际上”，“相似多边形对应角相等，对应边的比相等。反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么着两个多边形相似。”“对应边的比称为相似比。”

　　就讲了这么多，然后就是做习题了。

　　这里的毛病和“全等”类似，根源恐怕也一样，不再重述。

　　例6. 空间点、直线、平面之间的位置关系

　　在这部分，“公理”和“定理”的区别没有界定。在课标中就有四条公理(见KB])：

　　公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

　　公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

　　公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

　　公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

　　各版统编教科书中更乱，同一个命题，在一本教科书中称为公理，在另一本教科书中则可能称为定理，但称为定理也不给证明。各教科书中只有少数例行公事的验证，没有实质性的证明(参看 [Zhangy1])。

　　从欧几里德的《几何原本》直到1980年代我国的教科书对于“公理”和“定理”的区别都有严谨的界定。公理是直接从实验得到的，不加证明而采用，应尽可能少。仅就上述课标中的公理而言，其中后两条在老版教科书中都是定理，其中第3条可换为公理“两个平面不能只有一个公共点”，第4条不需要新公理也可推出。在这一点上，课标和各版本统编教科书都没有科学的严谨性。

　　人教版对各条公理或定理的讲法大体上是按照统一的程式：先引入一个术语，然后举例子，然后说“通过观察我们看出”或“容易发现”某现象，然后就“由此得到”某公理或定理，然后就是做题了。

　　但究意怎样“观察”才能“看出”，书里都没有说。实际教学中不过是硬灌给学生死记而已。

　　必须指出，空间直线与平面之间的位置关系恰恰不是能简单地“观察”到的，因为人的视觉处理的是二维图像，而这里涉及的很多对象如二面角、异面直线等都是实质上的空间图形，而况由于视觉经过到视网膜的投影，不保持空间直线的平行性。（要想观察到，需要做不平凡的实验，我还没有见到过这方面的教学实验，如果有人做，对于教学应是很有意义的。）

　　例7. 极值

　　上面的例子都属于必修内容，这个例子属于选修内容中微分部分（在北京属于高考范围）。

　　人教版中数学B版选修1-1中如此定义极值：

　　“设函数y=f(x)及其定义域内一点工x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x0)>f(x)(或f(x0)＜f(x)），则称f(x)在x=x处取极小值（或极大值）。"

　　注意这个定义与我们所读的数学分析教科书（无论哪种）中的定义不同（其中“f(x0)>f(x)或f(x0)<f(x)”在数学分析教科书中为“f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)”)。编者可能说有权改变定义，但按这样的定义，下面的最值判定法（也在人教版中数学B版选修1-1中）就不成立了。

　　“(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。"

　　所有各版本的统编教科书（如有这部分内容）都有同样的错误，而且关于最值判定法都没有证明。

　　有些中学教师发现了这个问题，但他们没敢怀疑编者。有人猜想如果要求y=f(x)在任一区间都不是常数，那么上述最值判定法还是成立的。然而这也不对，强毅写了一篇文章([Qiang2])，其中给出的例子是高阶连续可微函数，在任一区间都不是常数，且极值点的集合中每个点都是极限点。这说明上述教科书的错误是本质的。

　　由于偶然的原因，我们发现了这些教科书一致的错误的来源：工科普遍使用的同济版微积分教科书。

　　前年我参加北京市教学名师的评审，候选人中一位高校教师就是像上面那样讲极值，他自己编的教科书中也是这样写的。我在讨论中指出了这一问题，有评委说可能通用教科书中就有如此错误，一查还真是如此。

　　统编教科书中没有证明的定理很多，由本例可见编者在不写证明的时候，没有一个人自己做过证明，甚至没有一个人查阅过证明。大多数中学生所读的教科书，竟然是在如此不认真的治学态度下写的。这实在是现代中学生的大不幸。

　　还要说两点，上面这些例子好歹还是应有的课程内容，而统编教科书中有不少离题很远甚至根本不属于数学的内容，要举这方面的例子得再写一篇文章；还有如例6中那样“通过观察看出”之类的所谓“探索”也很多，同样是矇人，要举这方面的例子也得再写一篇文章。

　　前两年，图书出版人老六将民国时期蔡元培主持编写的课本重印，受到很高的评价，也使得现行统编教科书受到很多诟病。不久前这些老教科书已被上传到网上，但那都是语文方面的。博士生张楚晗建议将民国时期的数学教科书也上传。我觉得这是很值得做的。很多国人对于现行中学数学统编教科书还很崇拜，偶尔有人发现错误也往往“自觉”地贬低其严重性。我想主要原因怕是没见过好的，没有比较吧。

　　注：图片除标注“原文配图”外，均源自网络

　　参考文献：

　　(上下滑动浏览)

　　[Cheng1]程建飞：老版中学教材平面几何证明的研究，首都师范大学硕士论文(2014)

　　[KB]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社(2003)

　　[Li1]李克正：英国中学数学人才培养考察报告，《数学通报》2012年第10期

　　[Maqn1]麻庆南：中学代入概念教学的总结，首都师范大学硕士论文（2016）

　　[Qiang1]强毅：中学“边角边”公理教学中的思考，《数学通报》2011年第6期

　　[Qiang2]强毅：关于极值定义的思考

　　[R-C-A]人教A版初中数学教材电子版

　　[R-G-A]人教A版高中数学教材电子版

　　[Zhang1]张英伯：卓有成效的民办英才教育——以色列访问纪实，《数学通报》2012年第11期

　　[Zhang-Wen1]张英伯、文志英：法兰西英才教育掠影，《数学通报》2013年第1期

　　[Zhangy1]张玉：立体几何教学对学生空间想象力培养的研究，首都师范大学硕士论文（2016：

　　[Zou1]邹晴霞：关于多边形的定义，《数学通报》2012年第10期

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