初中数学培优 七年级下 整体思想 必须掌握的数学思想

　　中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

　　我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。

　　本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。

　　系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。

　　系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

　　初中数学培优 七年级下 整体思想 必须掌握的数学思想

　　二、重点难点分析

　　整体思想在七年级上的专题里面也讲过一次，现在又讲一次，这是因为这是初中数学的几个重要思想之一。

　　整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式，整体结构、已知条件和所求问题综合考虑后，得出结论，整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造。整体思想是一种重要的数学思想，我们在解题过程中经常会用到。整体思想使用得恰当，能提高解题效率，减少不必要的计算，直奔主题，因而整体思想在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛的应用，是初中数学学习中的重要思想方法。

　　三、例题精选

　　例1 若买2支圆珠笔、1本日记本需要4元，买1支圆珠笔、2本日记本需要5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需要元。

　　解析：整体思想都是在对题目进行观察分析的基础上引入的。

　　比如这道题目两种购买方式相加，就是圆珠笔和日记本各3本，总共9元。现在要去买圆珠笔和日记本各4本，那就是12元。

　　答案：12。

　　例2 已知x+y=4，xy=1,求代数式(x2+1)(y2+1)的值。

　　解答：原式=x2y2+x2+y2+1

　　=1+(x+y)2-2xy+1

　　=16.

　　例3 已知(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a4+a2+a0

　　解答：拿到题目，第一步是审题。比如这个题目，求的是偶次项系数的和。

　　那么当x=1时，原式化为：1= a4+a3+a2+a1+a0;①

　　当x=-1时，原式化为81= a4-a3+a2-a1+a0；②

　　(①+②) 得，a4+a2+a0=41。

　　从这个题目中，我们找到了多项式展开后，求出全部项系数和、偶次项系数和、奇次项系数和的方法：分别用x=1或x=-1代入原多项式，通过整体思想，直接求解。

　　例4阅读下面的材料:

　　材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.

　　解:将"x+y"看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.

　　再将"A"还原,得:原式=(z+x+1)2.

　　上述解题中用到的是"整体思想",整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:

　　(1)因式分解:1+2(x-y)+(x-y)2=

　　(2)因式分解:(a+b)(a+b-4)+4;

　　(3)证明:若n为正整数,则代数式n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某一个整数的平方.

　　解答：题目都很简单，省略过程，直接写答案

　　（1）(x-y+1)2;

　　（2）(a+b-2)2;

　　（3）解答过程见《七年级下 第9讲 因式分解的应用》习题。

　　（n2+3n+1）2。

　　本题记住：在组对时，从小到大，依次排列，首尾结对。

　　例5 已知a+d2=2017, b+d2=2018, c+d2=2019,且abc=24，求

　　解答：观察求值的代数式，跟d无关。

　　由此得：b-a=1，c-b=1，c-a=2；

　　看到这三个式子，应该想起恒等式：(b-a)2+(c-b)2+(a-c)2=2（a2+b2+c2-ab-bc-ac）;

　　代数式通分，原式=(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=.

　　四、练一练

　　1、计算3（4+1）（42+1）（44+1）...(44096+1）的值。（可以用4的指数形式表示）。

　　2、已知a1、a2、a3...a2018都是正数，设M=（a1+a2+a3+...+a2018）（a2+a3+a4+...+a2017），N=（a1+a2+a3+...+a2017）（a2+a3+a4+...+a2018），比较M、N的大小。

　　3、已知a=，求1234a+2468b+617c的值。

　　4、已知正数x1、x2、x3、x4、x5、x6同时满足=1，=2，=3，=4，=6，=9，求x1+x2+x3+x4+x5+x6的值。

　　5、已知关于x、y的二元一次方程组的解是的解：。

　　6、已知|x1-1|+|x2-2|+|x3-3|+...+|x2018-2018|=0，求代数式+的值。

　　7、已知x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值。

　　答案：

　　1、3=4-1原式=48192-1

　　2、设A= a2+a3+a4+...+a2017，则M=A（A+a1+a2018）,N=( A+a1)( A+a2018)。

　　用求差法N-M=a1a2018,M。

　　3、a+b=1,2b+c=1；

　　1234a+2468b+617c=1234（a+b）+617(2b+c)=1234+617=1851。

　　4、6个式子相乘，约分后得（）4=2*3*4*6*9=64，，将所得结果分别除以题目中的6个式子，那么x1=，x2=，x3=，x4=，x5=，x6=，

　　∴x1+x2+x3+x4+x5+x6=1+.

　　5、把x+y、x-y看成一个整体，则两个方程组完全相同，即x+y=5，x-y=6 解得x=5.5，y=-0.5.

　　当然把x、y代入原方程解出a、b，重新再解方程也可以。

　　6、由绝对值的非负性，得an=n，n=1,2,3...2018

　　方法很多，这个题最简单的方法：22018-22017=22017；

　　因此原式=2+4=6.

　　7、用长除法，所求代数式除以x2+4x-1得

　　2x4+8x3-4x2-8x+1=( x2+4x-1)(2x2-2)-1=-1.

　　

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