初中数学等腰三角形几种情况分别作辅助线的方法常见题目与讲解！

　　我们在做数学的几何方面的题目时候，大多数情况下是要用到辅助线的，今天就给大家讲一下怎么构造全等三角形，以及等腰三角形的几种情况通常做辅助线的方法。

　　当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.

　　例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，求证：∠A = ∠D

　　证明比较简单，连结BC就可以证明。

　　当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.

　　例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D求证：∠ABC = ∠DCB

　　证明只需要分别取AD、BC中点N、M，连结NB、NM、NC，这样做完辅助线以后，很快就得证，不在证明。

　　有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.

　　例：已知，如图，∠1 =∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，求证：∠BAP＋∠BCP = 180度

　　证明：过P作PE⊥BA于E

　　∵PD⊥BC，∠1 = ∠2

　　∴PE = PD

　　在Rt△BPE和Rt△BPD中

　　BP = BP，PE = PD

　　∴Rt△BPE≌Rt△BPD

　　∴BE = BD

　　∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE

电影先生

　　∴AE = CD

　　∵PE⊥BE，PD⊥BC

　　∠PEB =∠PDC = 90度

　　在△PEA和△PDC中

　　PE = PD

　　∠PEB =∠PDC

　　AE =CD

　　∴△PEA≌△PDC

　　∴∠PCB = ∠EAP

　　∵∠BAP＋∠EAP = 180度

　　∴∠BAP＋∠BCP = 180度

　　有等腰三角形时常用的辅助线

　　作顶角的平分线，底边中线，底边高线

　　例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC

　　证明：作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 =∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC

　　这道题，还有两种方法，这里不再讲解，留给大家，欢迎大家在评论里说出你们的方法。

　　有底边中点时，常作底边中线

　　例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF

　　证明：连结AD.∵D为BC中点，∴BD = CD又∵AB =AC∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE = DF

　　将腰延长一倍，构造直角三角形解题

　　例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC

　　证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180度∴2∠BCA＋2∠ACN = 180度∴∠BCA＋∠ACN = 90度即∠BCN = 90度∴NC⊥BC∵AE = AF∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE，∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC∴∠AEF = ∠ANC∴EF∥NC∴EF⊥BC

　　常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

　　例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF

　　证明：过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，∵AB = AC∴∠B = ∠ACB∴∠B =∠DNB∴BD = DN又∵BD = CE∴DN = EC在△DNF和△ECF中∠1 = ∠2，∠NDF =∠E，DN = EC∴△DNF≌△ECF∴DF = EF

　　这道题，还有第二种作法，就是过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B，证明过程留给大家。

　　常过一腰上的某一已知点做底的平行线

　　例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD =AE，连结DE求证：DE⊥BC

　　证明：过点E作EF∥BC交AB于F，则∠AFE =∠B，∠AEF =∠C∵AB = AC∴∠B =∠C∴∠AFE =∠AEF∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180度∴2∠AEF＋2∠AED = 90度即∠FED = 90度∴DE⊥FE又∵EF∥BC∴DE⊥BC

　　（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，另外两种方法的提示就这么多，过程留给大家。

　　常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形——等边三角形

　　例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数.

　　

　　解：以AB为一边作等边三角形，连结CE，则∠BAE =∠ABE = 60度，AE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ，∠ABC =∠ACB∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80°－60° = 20°∴∠ACE =(180°－∠EAC)= 80°∵∠ACB=(180°－∠BAC)= 50°∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80°－50° = 30°∵∠PCB = 30°∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50°, ∠ABE = 60°∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60°－50° =10°∵∠PBC = 10°∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBC，BC = BC，∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10°= 40°∴∠PAB =(180°－∠ABP)= 70°

　　同样这道题还有其他的解法，留作练习题，大家可以在评论里留言做法。欢迎大家踊跃留言！

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