中考数学抛物线压轴题，简便几步就解决了，一定要懂得转换问题

　　这是2021年山东泰安的中考数学压轴题，要求抛物线的解析式，直线解析式和线段比值的最大值。看看你能不能比较轻松地解决它。

　　二次函数y=ax^2+bx+4(a≠0)的图像经过点A(-4,0), B(1,0), 与y轴交于点C, 点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP, AC, 交于点Q, 过P作PD⊥x轴于点D.

　　(1)求二次函数的表达式；

　　(2)连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的表达式；

　　(3)请判断：PQ/QB是否有最大值，如有，请求出最大值时点P的坐标；如没有，请说明理由.

　　

　　分析：(1)送分的。将A，B两点的坐标代入二次函数解析式，列关于a,b的二元一次方程组，解方程组

　　可得。不过下面都老黄会用另一种方法。因为前面提到的这种方法过于机械化，不利于开拓思维。

　　老黄是通过列二次函数的交点式，展开后与一般式对照，利用对应项的系数相等，来求得a,b的值的。

　　(2)重要的是不要从P点的坐标切入，否则会很麻烦。而应该从直线BP在y轴的截距切入，就会变得特别简单了。

　　(3)直接求这个比值的最大值十分困难，千万不要硬攻，而应该利用“平行线截取线段成比例”的基本事实。把这个比值转移到其它地方。比如转移到横轴上的两条线段的比例关系。只要过P点作AC的平行线，就会发现，在这个对应关系中，BQ所对应的线段AB是定长的。因此就把比值的最值问题转换成线段的最值问题，难度大大的下降。

　　接下来就可以发现，当这条辅助线与抛物线相切时，PQ对应的线段就最长，从而PQ与QB的比值就最大。下面组织解题过程：

　　解：(1)可设y=a(x+4)(x-1)=ax^2+3ax-4a,

　　∴-4a=4, a=-1; b=3a=-3. ∴二次函数的表达式为：y=-x^2-3x+4.

　　【或将A(-4,0), B(1,0)代入解析式得：】

　　{16a-4b+4=0；a+b+4=0, 解得：a=-1；b=-3, ∴二次函数的表达式为：y=-x2-3x+4.】

　　(2)记BP交y轴于点E，则∠BEO=∠DPB=2∠BCO，

　　又∠BEO=∠BCO+∠CBE，∴∠BCO=∠CBE，∴BE=CE=OC-OE=4-OE,

　　在Rt△BOE中, OE^2=BE^2-OB^2, 即OE^2=(4-OE)^2-1, 解得：OE=15/8,

　　直线BP的表达式为：y=-15x/8+15/8.

　　

　　(3)当抛物线过P点的切线与AC平行时，PQ/QB最大. 且AC的斜率k=1.

　　可设切线方程为y=x+c, 列得方程： -x^2-3x+4=x+c, 即x^2+4x-4+c=0.

　　当x=-2时, y=-x^2-3x+4=6, ∴P(-2,6).

　　最后一步x=-2是由韦达定理得到的。因为直线与抛物线相切，所以它们的交点方程有相同的实数根，这个实数根就是P点的横坐标。也就是说，P点横坐标的两倍，就是-4，因此x=-2.

　　你觉得老黄这道题解得怎么样呢？

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