柯西不等式和权方和不等式的运用，这是高考题还是数学竞赛题

　　2022年高考理科数学全国甲卷的最后一道选做题，是一道不等式问题，老黄看过标准答案，它需要运用到“柯西不等式”和“权方和不等式”。这两个不等式都是高中数学竞赛常用的不等式，要求在高考中运用，老黄觉得不太合适。老黄仅用均值不等式就把它解决了。

　　

　　已知a,b,c均为正实数，且a^2+b^2+4c^2=3，证明：

　　(1)a+b+2c≤3;

　　(2)若b=2c, 则1/a+1/c≥3.

　　我们先来看看标准答案：

　　证明1：(1)由柯西不等式有：(a^2+b^2+4c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+2c)^2.

　　即3×3≥(a+b+2c)^2且a, b, c均为正实数，

　　∴a+b+2c≤3(当且仅当a=b=2c，即a=b=1, c=1/2时取等号).

　　介绍一下柯西不等式，它的一般格式是这样的：

　　(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)^2.

　　

　　(2)由(1)及b=2c知, 0<a+4c≤3, ∴1/(a+4c)≥1/3,

　　由权方和不等式知：1/a+1/c=12/a+22/(4c)≥(1+2)2/(a+4c)≥9/3=3.

　　

　　介绍一下权方和不等式，它的一般格式是这样的：对于xi,yi>0, (i=1, 2, …,n)

　　记M=(x1+x2+…+xn)^(m+1)/(y1+y2+…+)^m；

　　N=x1^(m+1)/y1^m+x2^(m+1)/y2^m+…+xn^(m+1)/yn^m.

　　当m(m+1)>0，M<=N; 当m(m+1)=0，M=N; 当m(m+1)<0，M>=N.

　　

　　虽然说这两个不等式对一般的高考学生来说，并不常用，但是多掌握一点知识，总是不会吃亏的。下面介绍老黄自己的方法，只要懂得使用均值不等式就足够了。ai>=0, (i=1, 2, …,n)

　　(a1+a2+…+an)/n>=n次根号(a1a2…an).

　　

　　证明2：(1)(a+b+2c)^2=a^2+b^2+4c^2+2ab+4ac+4bc

　　≤a^2+b^2+4c^2+a^2+b^2+a^2+4c^2+b^2+4c^2=3(a^2+b^2+4c^2)=9.

　　∴a+b+2c≤3.

　　(2)若b=2c, 则1/a+1/c=1/a+1/(2c)+1/(2c)=1/a+1/b+1/(2c)

　　≥3倍三次根号(1/(2abc))≥9/(a+b+2c)≥9/3=3.

　　

　　其实很多不等式都是由均值不等式派生出来的。前面两个不等式如果你掌握不好，均值不等式可是一定要掌握好的哦。对这道题，你还有更多的看法吗？

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