八年级数学,勾股定理,通过构图法求最值和面积
勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系,这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁,即运用数形结合思想方法解决问题。“数”是指能构造出直角三角形的三边的长度,“形”是构造出来的直角三角形。解答题目的关键是以“形”助“数”。
01构图法求最值
构图法求最值:①将数的问题转化为形的问题;②转化后常利用将军饮马的最值模型辅助求解;③将军饮马的最值模型可求线段和的最小值以及线段差的最大值。
例题1:如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=3,DE=2,BD=12,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长.
(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小,并求出此时AC+CE的最小值.
(3)根据(2)中的规律和结论,重新构图求出代数式√x2+1+√(8?x)2+25的最小值.
分析:(1)由于△ABC和△CDE都是直角三角形,故AC,CE可由勾股定理求得;
(2)若点C不在AE的连线上,根据三角形中任意两边之和>第三边知,AC+CE>AE,故当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小;
(3)由(1)(2)的结果可作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C,则AE的长即为代数式√x2+1+√(8?x)2+25的最小值,然后构造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值。
此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识,本题利用了数形结合的思想,求形如√x2+1+√(8?x)2+25的式子的最小值,可通过构造直角三角形,利用勾股定理求解。
02构造法求面积
例题2:(1)问题背景:在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13,求此三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图①所示,这样不需求△ABC的高而借用网格就能计算出它的面积,请你将△ABC的面积();
(2)思维拓展:我们把上述求△ABC面积的方法叫做方格构图法.如果△ABC三边的长分别为√5a、√8a、√17a(a>0),请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积;
(3)探索创新:若△ABC三边的长分别为√m2+16n2,√9m2+4n2,2√m2+n2(m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法在图③网格中画出相应的△ABC示意图,并求出这个三角形的面积.
分析:本题考查作图-应用与设计作图,二次根式的应用,勾股定理等知识,解题的关键是学会构造三角形解决问题,学会利用割补法求三角形的面积。
此题主要考查了勾股定理应用,利用了数形结合的思想,通过构造直角三角形,利用勾股定理求解是解题关键.关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答。
举报/反馈
最近更新教育培训
- 丰林县:打好“组合拳” 稳岗促就业
- 进城务工人员随迁子女可在北京参加高职招考!今天17时截止——
- 政策|促进负责任创新与隐私保护:《科技伦理审查办法(试行)》解读
- 湖北教育行业微信9月TOP30榜:“湖北民族大学”等8个账号新晋榜单
- 晒课堂常规 看星湖学校促师生习惯养成
- “乡”味浓浓,侨后代千里返乡学潮菜
- 房车资讯:房车买个什么车好?正犹豫的你,请收下本篇测评!
- 张家界市总工会女职工芙蓉公益讲堂送课到永定区教师进修学校
- 广东2024年普通高考报名百问百答(一)
- “首批二孩”集中入学 看银川如何从容应对
- 【理通三迤】好品德造就干部好风尚
- 长春职业技术学院探索职教援外新路径
- 排名公开:贵阳精神病医院2023排名10月详情榜单
- 亳州教师勇救落水青年 彰显师者大爱
- 贵州省2023年下半年高等教育自学考试考前提示
- 10月17日起,贵州省2023年度全国社会工作者职业资格证书(纸质)可以领取啦!
- 四川北川:“羌山领头羊”计划让中学生成为科学实验的“研究者”
- 山东代表寄语妇女十三大丨刘莉:让巾帼之力在乡村振兴路上更加出彩
- “只要有孩子来读书,我就不会放弃”
- 原创国乒世界排名洗牌!王楚钦3项第1,张本智和暴跌,马龙第3难保
- 68125亿元!同比增长6%!山东前三季度“成绩单”出炉
- 文教融合共创未来
- 生态环境部、市场监管总局联合发布《温室气体自愿减排交易管理办法(试行)》
- 约老师轰22+12+7,掘金险胜灰熊!罗斯梦回巅峰,穆雷只打关键球
- 定档12月31日!2023深圳宝安马拉松报名今日开启