对应三种空间形状的三种几何

　　我们所见的空间似乎向四面八方无限延伸，不禁让人疑惑：宇宙到底是什么形状？

　　目前，关于宇宙的形状主要有三种假设：

　　宇宙是扁平的，像纸一样；相同的;宇宙的曲率是减去，就像马鞍一样。

　　所以要探索宇宙的形状，我们必须了解这三种不同的空间几何结构。

　　

　　平面几何

　　

　　对于平面几何的故事，我们需要回到很久很久以前，当时欧几里得第一次制定了我们生活的世界的几何原理。在他的书中《几何原本》，他提出了五个几何公设：

　　任意两点都可以连成一条直线；任意一条线段都可以延长成一条直线；所有直角全等；如果一条直线与两条直线相交，使得同侧的两个角之和小于这两个直角，则两条直线相交如果延伸无限地。

　　19世纪，勒让德证明了第五公设等价于“三角形的内角和等于两个直角”。这个公设下的几何学也叫“欧几里得几何学”或“平面几何学”。在这个几何学中，两条平行线永不相交，三角形的内角和总是180度。对应这个几何学是平坦的宇宙，其中的曲率为0。

　　

　　相对于前四个公设，第五公设更加复杂。欧几里得自己隐约觉得第五公设不如其他公设完美。直到19世纪，数学家们终于找到了使第五公设失效的几何例子，证明了这个2000多年来一直被认为正确的公设确实不完美。

　　这一发现也直接导致了导致非欧几何的诞生。而这一发现也令人惊讶地催生了广义相对论，彻底颠覆了我们对宇宙的看法。在非欧几何中，是否宇宙是正向或负向弯曲的，事情开始看起来很奇怪。

　　

　　球面几何

　　

　　当宇宙的曲率为正时，两条平行曲线将向一点倾斜，对应球面几何，在这个几何中，欧几里德的第五个假设失败。

　　在这个几何中，平面几何中的“直线”变成了一个大圆，即通过球心的平面与球面相交所形成的圆。球面上三角形的内角和不再等于180度，而是略大于180度。

　　

　　可能对于球体上那些非常小的三角形，我们几乎察觉不到这一点。这是因为从一个非常小的三角形的角度来看，球体几乎是平的。这就是为什么对于生活在地球这样一个球面上的我们来说，从平面几何思维转变到球面几何思维需要这么长时间。显然，在讨论球面上的大三角形时，显然其内角大于180度。

　　

　　双曲几何

　　

　　当宇宙的曲率为负时，意味着两条平行直线将永远发散，对应的是双曲几何。在双曲几何中，欧几里德的第5个公设因与球面几何相似但恰好相反的原因而失败，但前4个公设在双曲几何中仍然成立。

　　双曲几何比球面几何更难形象化。与向内封闭的球面几何不同，双曲几何向外张开。一种可以用来表示双曲几何的方法叫做庞加莱半平面模型（Poincaréhalf-planemodel）。这个模型与“真实”双曲空间的关系有点类似于平面地图与球形世界之间的关系。比如你坐飞机从北京直飞伦敦，平面地图上画的路线就不是直线，而是曲线。

　　

　　在欧氏几何中，圆的周长与半径成正比；但在双曲几何中，周长与半径呈指数相关。如果放大双曲圆盘的边界，可以看到那里堆放着很多三角形。在双曲几何中，三角形的内角小于180度。以庞加莱圆盘中的三角形为例，其内角和为165度。

　　

　　宇宙的形状

　　了解不同几何形状的属性对于思考宇宙的大尺度形状至关重要。要了解宇宙的形状，研究人员需要测量宇宙中物质的密度。因为根据爱因斯坦的广义相对论，空间本身可以被质量弯曲。因此，通过将宇宙的临界密度与实际密度进行比较，就可以计算出宇宙的空间曲率，从而推断出宇宙是“开”、“闭”还是“平”的。

　　如果宇宙的实际密度大于临界密度，它包含的质量足以最终停止膨胀，那么这是一个封闭的宇宙，呈球形。如果宇宙的实际密度小于临界密度，就意味着宇宙中没有足够的物质来阻止宇宙的膨胀，宇宙将永远膨胀下去。这就是所谓的开放宇宙，它的形状会像马鞍的表面一样弯曲。但是，如果宇宙恰好包含足够的质量来停止膨胀，那么它的实际密度将等于临界密度，在这种情况下，宇宙被称为平坦的。

　　这些问题的答案都“写”在天空中，隐藏在从四面八方袭击我们的宇宙微波背景

　　

　　（CMB）辐射中。根据目前的CMB证据，平面几何学最有可能是正确的：研究人员测得宇宙曲率为0，这意味着可观测宇宙基本上是光滑均匀的，即空间的局部结构是在每一点它在各个方向看起来都一样。

　　比如在更大的尺度上，宇宙还是有可能是弯曲的，但这超出了我们的感知。就像站在平坦的表面上，我们可能会觉得地球是平的。到目前为止，我们所知道的是可观测宇宙几乎是平坦的。

　　对宇宙形状的研究，其实是在为宇宙起源的研究提供线索，也是我们推测宇宙最终命运的关键信息。它与宇宙中物质的形状和密度、暗能量的强弱息息相关，最终将决定宇宙是在大收缩中收缩，还是在炽热的孤独中消亡。

　　参考来源：

　　https://www.quantamagazine.org/what-shape-is-the-universe-closed-or-flat-20191104/

　　https://www.nature.com/articles/425566a

　　https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA4NDU1MDY5OA==&mid=2653197576&idx=1&sn=b5cc8bbefba31cfea2ccf65c07621c02&chksm=8435404db342c95beb95057241584d41ad03dade4d87afeb28a4a46e0460892ca793f34c87b6&token=1218331702&lang=zh_CN#rd

　　https://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-strange-geometrieshttps://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/