一道2021年高考数学真题,导数综合题,掌握方法其实也不难
大家好!本文和大家分享一道2021年高考数学真题。这道题是2021年高考全国乙卷理科数学的第20题,题目考查了导数的计算、导数与函数的极值、利用导数证明不等式等知识。作为一道导数综合题,这道题的难度其实并不算大,只能算是一道中等题。
先看第一小问:求参数a的值。
在高中阶段,函数极值点处的导数值为0,我们就需要利用这一点来求a的值。
由f(x)=ln(a-x)知,y=xf(x)=xln(a-x),则y'=ln(a-x)-x/(a-x)。由于x=0时是函数y的极值点,所以当x=0时,y'=0,从而解得:a=1。
再看第二小问:证明g(x)<1。
由(1)知,a=1,即f(x)=ln(1-x),则g(x)=[x+f(x)]/xf(x)=[x+ln(1-x)]/xln(1-x),且g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1)。
要证g(x)<1,这是一个分式不等式,所以我们可以想办法化为整式。由于当x<0时,ln(1-x)>0,所以xln(1-x)<0;当0<x<1时,ln(1-x)<0,所以xln(1-x)<0。也就是说在定义域内,恒有xln(1-x)<0,故两边同时乘以xln(1-x)就可以将g(x)<1转化为x+ln(1-x)>xln(1-x),即x+ln(1-x)-xln(1-x)>0。
构造新函数h(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x),其中x<0或0<x<1。接下来只需要证明函数h(x)的最大值都小于零即可。对新函数求导,得到h'(x)=-ln(1-x),当x<0时,1-x>0,则h'(x)=-ln(1-x)<0,此时h(x)为减函数;当0<x<1时,0<1-x<1,则h'(x)=-ln(1-x)>0,此时h(x)为增函数,所以有h(x)>h(0)=0。从而证明出g(x)<1。
另外,对于g(x)<1这个分式不等式的处理,我们也可以先化成分式不等式的一般形式,即g(x)-1<0,然后通分,整理得到[x+(1-x)ln(1-x)]/xln(1-x)<0。此时不要直接分式化整式,还是先对分母进行讨论,从而变成证明x+(1-x)ln(1-x)>0。后面的证明就和前面的一样了。
作为一道导数综合题,这道题的难度并不大,很多学霸都说是送分题。你觉得呢?
举报/反馈
最近更新教育培训
- 丰林县:打好“组合拳” 稳岗促就业
- 进城务工人员随迁子女可在北京参加高职招考!今天17时截止——
- 政策|促进负责任创新与隐私保护:《科技伦理审查办法(试行)》解读
- 湖北教育行业微信9月TOP30榜:“湖北民族大学”等8个账号新晋榜单
- 晒课堂常规 看星湖学校促师生习惯养成
- “乡”味浓浓,侨后代千里返乡学潮菜
- 房车资讯:房车买个什么车好?正犹豫的你,请收下本篇测评!
- 张家界市总工会女职工芙蓉公益讲堂送课到永定区教师进修学校
- 广东2024年普通高考报名百问百答(一)
- “首批二孩”集中入学 看银川如何从容应对
- 【理通三迤】好品德造就干部好风尚
- 长春职业技术学院探索职教援外新路径
- 排名公开:贵阳精神病医院2023排名10月详情榜单
- 亳州教师勇救落水青年 彰显师者大爱
- 贵州省2023年下半年高等教育自学考试考前提示
- 10月17日起,贵州省2023年度全国社会工作者职业资格证书(纸质)可以领取啦!
- 四川北川:“羌山领头羊”计划让中学生成为科学实验的“研究者”
- 山东代表寄语妇女十三大丨刘莉:让巾帼之力在乡村振兴路上更加出彩
- “只要有孩子来读书,我就不会放弃”
- 原创国乒世界排名洗牌!王楚钦3项第1,张本智和暴跌,马龙第3难保
- 68125亿元!同比增长6%!山东前三季度“成绩单”出炉
- 文教融合共创未来
- 生态环境部、市场监管总局联合发布《温室气体自愿减排交易管理办法(试行)》
- 约老师轰22+12+7,掘金险胜灰熊!罗斯梦回巅峰,穆雷只打关键球
- 定档12月31日!2023深圳宝安马拉松报名今日开启