从中学数学顺利过渡到大学数学的桥梁书——《数学分析应该这样学》

　　GRADUATION

　　从中学顺利过渡到大学的挑战

　　高强度的备考冲刺后，高三毕业生终于迎来了一个轻松的暑假。但是除了享受惬意的假期，也需要为即将到来的大学生活和学习做好准备。

　　考上大学是对过去的努力的肯定，是一个重要的阶段性成果，但还远远不是终点。学习应当是终生事业，而下一阶段的学习目标，则是利用大学提供的优良条件，让自己在大学期间学有所成。此外考研和就业的内卷压力也已渗透大学各个专业，只有准备最充分的人才能抓住机会。

　　从中学过渡到大学，其实是一项不小的挑战，但很多人容易沉浸在高考成功的喜悦中而忽视这一点。最大的挑战来自学习模式的不同。中学的学习目标清晰（高考），老师会提供细致入微的指导和把控。大学则更自由，学习更强调自主把控。如果习惯了由老师指导一切，进入大学后往往会陷入目标感不清晰，茫然无措的境地。

　　另外中学的课程体系简单，课程之间关联不强，数学没有学好不会妨碍你学习语文外语；大学的课程体系则具有层次递进性，基础课程的学习效果直接影响后续专业课程的学习。而基础课程又是在大一大二开设，很多学生尚处于适应阶段，就要迎接最严峻的挑战。

　　GRADUATION

　　高等数学（数学分析）是学习成败的关键

　　

　　在基础课程中，最关键的是高等数学或数学分析的学习（大部分理工科专业要求学高等数学A，一些更强调数学基础的学校和专业则要求学数学分析），很多专业课程都需要扎实的高等数学基础。

　　比如现在热度很高的人工智能和机器学习领域，就需要以微积分、线性代数、概率与数理统计和信息论等数学课程为基础，而对这些课程的掌握，又需要数学分析作为支撑。

　　可以毫不夸张的说，对于理工科专业的学习以及后续的深造，得数学者得天下，得分析者得数学。

　　作为进入大学后的第一门课，也是最重要的一门课，学好高等数学十分有利于学生建立自信，同时掌握在大学阶段自主学习的能力和方法。但是学好高等数学并不容易，无数天之骄子折戟于此。

　　GRADUATION

　　高等数学的严格性给学习带来挑战！

　　

　　高等数学之所以难以学好，首要原因在于，高等数学与中学时代的初等数学存在本质差别。初等数学强调直观和计算，重点在于通过反复练习掌握解题技巧。高等数学则更强调抽象和证明，追求的是从简单的定义和公理出发，通过逻辑推理和证明，将理论大厦搭建得无比牢固，也就是所谓的严格性。

　　严格性一直是数学这门学科不懈的追求，数学的逻辑推理要想走得远，必须从清晰的定义和公理出发，借助证明的梯子，才能搭建出宏伟而又坚实的理论体系，微积分更是如此。微积分是牛顿和莱布尼兹的发明，是人类最伟大的智识成就之一，人类进入现代社会以来取得的许多科学成就都依赖于微积分。在发明微积分之后，人们发现，微积分可以解决物理、化学、生物、经济、计算机科学、金融、工程学等领域的许多问题。虽然取得了很多突破，但也曾长期饱受理论体系不严格的困扰。相同的微积分法则有时候起作用，有时候又会陷入困境。

　　比如积分的一个应用是求曲线下的面积，通过将曲线下的区域划分为许多矩形，然后用黎曼和求矩形的面积之和，就可以通过取极限的方式将黎曼和变成积分，从而求得曲线下的面积。类似的，通过用许多线段来逼近曲线，计算所有线段之和，进而取极限，也可以求得曲线的长度。但如果不正确地运用这个方法，也会导致荒谬的结论。例如顶点为(0,0)、(4,0)和(0,3)的直角三角形，很容易用勾股定理求得斜边的长度为5。学习微积分后，我们也可以用微积分的方法来求斜边长度（并不是拿着锤子看什么都是钉子，而是因为这种方法对求曲线长度更有普适性）。一种方法是利用水平边和垂直边来逼近斜边，取一个很大的N，然后构造一个“阶梯”来逼近斜边，这个“阶梯”由N个长度相等的水平边（长为4/N）和N个长度相等的垂直边（长为3/N）交替排列组成。如果令N趋向于无穷，阶梯就趋近于斜边，因此在极限概念下，我们可以求得斜边的长度为N(4/N+3/N)=7，而非根据勾股定理求得的5。是哪里出了错呢？

　　数学分析就可以帮助我们解决这样的问题，让我们知道微积分法则在什么情况下适用，在什么情况下又不适用，从而让我们能避免在应用微积分时陷入谬误。数学家们正是在不断与这类模棱两可的谬误的搏斗中不断完善微积分的基础，通过近两百年的努力，最终让微积分成为一门严格的数学，也就是我们今天在数学课本上见到这一套分析理论。

　　前面我们说了，微积分的发明和严格化，是人类最伟大的智识成就，人类最优秀的一些头脑为之奋斗了近两百年才最终搭建出数学分析这个宏伟坚固的理论大教堂。作为一个初学者，要想很快领略这个大教堂的精髓很显然并不是一件容易的事情，更何况我们需要从最基础的砖块和构件开始，学习如何使用各种简单砖块（基本定义）和堆砌技巧（证明）搭建出这座宏伟的大教堂。而且与直观思维相比，抽象思维并不是人类的强项。

　　对于刚进入大学的学生来说，还有一个出人意料的困难——中学数学的成功学习经验。这一点往往容易让人忽视，怎么之前的成功学习经验还会成为阻碍？沿用以往的成功经验是人类学习的本质特征，同时也是人类的认知弱点。金榜题名的莘莘学子是中学学习的成功者，很多人习惯性地认为，高等数学就是在中学数学的基础上学习更高层的知识。而实际上高等数学除了学习更高层的知识，更重要的是向下延伸，探究数学的基础和本质。如果没有认识到这一点，在面对数学分析开始阶段那套抽象的定义和ε-δ语言时往往不明所以，不知道学这些有什么意义。而且与中学阶段老师的循循善诱不同，大学阶段的约束较少，更强调自主学习。中学阶段一帆风顺的学生进入大学后一旦遭受学习挫折，往往茫然无措，自信心遭受极大打击，一些性格乐观坚韧的同学能顺利过渡入门阶段，更多的同学则就此一蹶不振，开始怀疑自己的学习天赋。

　　GRADUATION

　　帮助你从中学数学顺利过渡到大学数学的桥梁

　　

　　数学分析的课本和辅导书早已汗牛充栋，但还很少有书关注如何帮助刚进入大学的学生顺利完成数学分析入门阶段艰难的爬坡过程。原力新近出版的《数学分析应该这样学》填补了这个空白。这本书在初等数学和高等数学之间搭起一座桥梁，让学生能更自信地完成这个转换。

　　Lara Alcock

　　劳拉·阿尔柯克

　　作者劳拉·阿尔柯克（Lara Alcock ）教授是英国拉夫堡大学著名数学教育家，从事数学教学和教育研究多年，具有丰富的数学教学和研究经验。原著由牛津大学出版社出版，多年来深受读者喜爱和好评，亚马逊评分高达4.6分。

　　

　　作为桥梁书，《数学分析应该这样学》不同于一般的教材和辅导书，不追求对数学分析知识体系的面面俱到，也不要求做题。就如作者所说，“这本书是用来读的，当然不是读小说，但也可以读得相当快……这本书鼓励流畅阅读，使读者免于深陷定义和证明的泥潭，由于停滞不前而很快灰心丧气。”换而言之，阅读这本书不应当是准大学生们暑期的负担，而应当是一种享受和放松。

　　

　　书中的内容分为两部分，第一部分讲解什么是高等数学，以及如何从定义和公理出发，以证明为手段搭建严格一致的数学理论，让读者明白中学数学与大学数学的根本差异，同时掌握数学严格性的精髓。另外这部分还为读者制定了最优的学习策略，并告诉读者如何应对初学阶段难免的挫折感；第二部分则以深入浅出的方式讲解数学分析中的关键核心概念，包括序列、级数、连续、可微、可积和实数等，帮助读者理解和掌握这些容易让初学者感到最费解的部分知识，从而顺利通过最困难的入门阶段，为后续学习打下坚实的基础。

　　

　　《数学分析应该这样学》虽然讲的是最艰深的科目，但风格平易近人，娓娓道来，让人不忍释卷，可以说是送给刚结束高考即将开始大学生涯的朋友们的最佳礼物。如作者所言，读这本书的最佳时机是进入大学之前的暑假，当然这本书也适合已开始学习高等数学甚至学过高等数学但感到困惑的同学阅读。这本书在欧美已成功帮助无数学生顺利跨入高等数学的大门，相信在今后也能帮助更多中国学生领悟高等数学的精妙之处和数理逻辑思维的乐趣。