八年级数学上册知识点总结

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　　第1章《全等三角形》知识点总结

　　一、定义

　　1、能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）

　　2、当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.

　　由此,可以得出：全等三角形的对应边相等,对应角相等.

　　二、找对应边、对应角的方法：

　　(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边；

　　(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角；

　　(3)有公共边的,公共边一定是对应边；

　　(4)有公共角的,角一定是对应角；

　　(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角；

　　三、三角形全等的判定方法：

　　1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因.

　　2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”).

　　3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”).

　　4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

　　5、直角三角形全等的特殊的判定方法：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”)

　　注意：在全等的判定方法中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状. HL是直角三角形全等的特殊的判定方法。

　　A是英文“角”的缩写(angle),S是英文“边”的缩写(side).

　　四、性质

　　1、全等三角形的对应角相等、对应边相等.

　　2、全等三角形的对应边上的高对应相等.

　　3、全等三角形的对应角平分线相等.

　　4、全等三角形的对应中线相等.

　　5、全等三角形面积相等.

　　6、全等三角形周长相等.

　　(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)

　　五、运用

　　1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等.而全等的判定却刚好相反.

　　2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键.在 写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供 方便.

　　3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS找全等三角形.

　　六、做题技巧

　　一般来说考试中线段和角相等需要证明全等.因此我们可以采取逆思维的方式　　来想要证全等,则需要什么条件；也可以根据题目中给出的已知条件,得出有关信息.然后根据所得的信息运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等，进一步证明线段和角相等

　　第2章《图形的轴对称》知识点总结

　　知识点一：轴对称

　　（一）轴对称和轴对称图形

　　1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

　　2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）

　　3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

　　画对称点的方法：先向对称轴作垂线段，再延长，使延长部分等于垂线段，即可得到对称点。

　　4、轴对称图形的性质：

　　（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　（2）类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

　　（4）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

　　5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：

　　（1）找到关键点 （2）画出关键点的对应点 （3）按照原图顺序依次连接各点。

　　（二）轴对称与轴对称图形的区别和联系

　　区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

　　联系：1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

　　（三）用坐标表示轴对称

　　1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；

　　2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；

　　3、点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。

　　关于谁，谁相反；关于原点都相反

　　（四）关于坐标轴夹角平分线对称

　　点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）

　　点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝ －x对称的点的坐标是（－y，－x）

　　(五） 关于平行于坐标轴的直线对称

　　点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；

　　点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；

　　知识点二：线段的垂直平分线与角平分线的性质

　　（一）线段的垂直平分线

　　（1）线段的垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

　　（2）线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。【重点】

　　（3）线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

　　（二）角平分线的性质

　　1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

　　如下图：∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC

　　

　　2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】

　　如上图：∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,

　　3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

　　如上图：∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE

　　∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)

　　（三）其他结论

　　（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

　　（2）三角形三条边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

　　知识点三：等腰三角形

　　1.等腰三角形

　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

　　（2）等腰三角形性质

　　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

　　②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

　　（3）等腰三角形的判定

　　①两条边相等的三角形是等腰三角形；

　　②有两个角相等的三角形是等腰三角形（即“等角对等边”）.

　　2.等边三角形

　　（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 它是特殊的等腰三角形。

　　（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

　　（3）等边三角形的判定：

　　①三条边都相等的三角形是等边三角形；

　　②三个角都相等的三角形是等边三角形；

　　③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.

　　第3章《分式》知识点总结

　　1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

　　2. 分式有意义、无意义的条件：

　　分式有意义的条件：分式的分母不等于0；

　　分式无意义的条件：分式的分母等于0。

　　3. 分式值为零的条件：

　　当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

　　（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式B(A)为0的条件是A＝0，且B≠0.）

　　（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检

　　验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）

　　4. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

　　用式子表示为 ,(），其中A、B、C是整式

　　注意：

　　（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；

　　（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；

　　（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；

　　（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

　　5.分式的通分：

　　和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

　　通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

　　（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

　　（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

　　（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

　　6.分式的约分：

　　和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

　　约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

　　（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；

　　（2）找公因式的方法：

　　① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；

　　②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

　　易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；

　　（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前；

　　（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；

　　7.分式的运算：

　　分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

　　分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

　　用式子表示是：

　　提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；

　　（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

　　（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

　　（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

　　①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；

　　②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；

　　③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。

　　分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

　　用式子表示是： （其中n是正整数）

　　注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；

　　（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；

　　（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

　　（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。

　　分式的加减法则：

　　法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

　　用式子表示为：

　　法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

　　用式子表示为：

　　注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；

　　（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；

　　（3）运算时顺序合理、步骤清晰；

　　（4）运算结果必须化成最简分式或整式。

　　分式的混合运算:

　　分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

　　8、 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

　　分式方程的解法：

　　（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程去分母转化整式方程.

　　（2）解分式方程的一般方法和步骤：

　　①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；

　　②解这个整式方程；

　　③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

　　注意：① 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；

　　②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！

　　9、解分式方程的步骤 ：

　　(1) 能化简的先化简；

　　(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；

　　(3)解整式方程；

　　(4)验根．

　　分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

　　10、.含有字母的分式方程的解法：

　　在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。

　　11、.列分式方程解应用题的步骤是：

　　(1)审：审清题意；(2)找: 找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。

　　应用题有几种类型；基本公式是什么？

　　基本上有五种： (1)行程问题 基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

　　(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

　　(3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．

　　(4)顺水逆水问题

　　v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．

　　第4章《数据的分析》知识点总结

　　1.加权平均数：加权平均数的计算公式。

　　权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

　　学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

　　2.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

　　3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。

　　4.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。

　　5.　方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

　　6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。

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