2021上海杨浦区中考数学填空压轴题:考验考生的数学思维的好题
这是上海市杨浦区2021中考数学填空的压轴题。大城市的题目的确有些不一样,题目得出答案不难,但要理解透彻需要很好的数学功底,对学生的数学思维的挑战很大。
定义:在平面内,一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离,在平面内有一个正方形,边长为2,中心为O,在正方形处有一点P,OP=2,当正方形绕着点O旋转时,则点P到正方形的最短距离的取值范围为_________.
分析:其实题目最后的问题改成:“点P到正方形的距离的取值范围”就可以了。没有必要加上“最短”两字,因为点P到正方形的距离的定义,指的就是点到正方形上所有点的最短距离。题目加上最短距离,严格来说,其实是距离的最小值,即要求距离最小值的取值范围,其实这是矛盾的,这是这道题出得不够严谨的地方。数学讲究的就是一个严谨。我们只能理解出题人的意图,讲的就是距离的取值范围,而不是最小距离的取值范围。这些话有点啰嗦,但我觉得研究数学的话,有必要搞清楚这些问题。
会分析点P到正方形距离的最小值。正方形在旋转时,会形成一个圆,
由图不难发现,点P到圆的距离不大于点P到正方形的距离,而“点到圆的最短距离在过圆心的直线上”,因此,正方形顶点在OP上时,所求最短距离最小,如图1:
此时,PA=OP-OA=2-根号2,就是点P到正方形距离的最小值。
再来分析最大值。其实最大值很容易找到,如图2,当OP垂直正方形边于点E时,
PE=OP-OE=1就是所求最短距离的最大值.
∴点P到正方形的最短距离的取值范围为[2-根号,1].(答案可写成其
不过现在对最大值其实还有几个疑问:
(1)为什么PE是点P到正方形的距离中的最大值?而不是其它情况。
如图3,过P作PE⊥AD于点E,当点E在线段AD上时,PE是点P到正方形的最大距离,
记OP交AD于点F,过O作OG⊥AD于G,则OG=1,
因为△PEF∽△OGF,所以PE=PF/OF=2/OF-1,【这个容易证明,请自行解决】
可见OF越小,PE越大,
而当OP⊥AD时,OF最小,PE最大,且E,F重合. 所以PE的最大值距离就是与PF重合时,此时是点P到正方形的最大距资讯影评离。
(2)那如果点E在DA的延长线呢?
此时PA是点P到正方形的最短距离,但仅当∠PAF是钝角时,会出现这种情形。而钝角∠PAF所对的边PF>PA,加上图2中是PF(与PE重合)最大的情形,所以图2的PE是点P到正方形的最大距离。
(3)以上主要分析左侧的情形,右侧是否一致呢?
当然,因为圆和正方形都有对称性,所以两侧的情形是相同的。
这道题的答案不难得到,但是原理却非常复杂。考试时,我们只要知道答案就好了,但那带有蒙的性质,平时学习,我们就要把它彻底搞明白,否则数学很难真正学好。由于出题人把点到图形的距离和点到图形的最短距离搞混淆了,造出老黄讲解时可能出现一些失误,请大家见谅。另外,老黄是本着一种和大家一起探讨的态度来的,如果出现其它错误也正常,请多多理解。
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