2017考研數學:透過歷年真題讀懂大綱
考研數學大綱是考研復習的權威依據。它針對每一部分內容規定了“考試內容”和“考試要求”。不過,隻看考綱恐怕不能完整把握考研要求。如考綱提到“掌握極限的性質及四則運算法則”,這提醒考生極限的性質和四則運算法則是重要考點,須掌握。可是考試到底怎麼考?要達到什麼程度(會做哪幾類題)才算掌握?光盯著考綱看是得不到讓人滿意的答案的。怎麼辦?把歷年真題請出來就好了:找出歷年真題中與極限性質四則運算法則相關的考題。解題,分析題,總結題,答案就浮出水面了。換句話說:考綱和真題雙劍合璧,才能完整把握考研數學的要求。下面筆者和考生一起結合真題讀考綱。
一、函數、極限、連續
模塊
考試內容
真題題型
函數
定義
建立函數關系(如數三根據經濟背景列出利潤的函數關系式)。
運算(四則運算、復合、反函數)
1.求復合函數或某函數的反函數的解析式。
2.結合函數運算判斷函數的性質(如“連續加連續=連續,連續+間斷=間斷”)。
性質(有界性、單調性、周期性、奇偶性)
1.單獨以選擇題的形式考察函數是否具有該性質。
2.運算過程中利用該性質化簡(如無窮小乘以有界量等於無窮小量,奇函數在對稱區間積分值為零)。
分類(基本初等函數、初等函數、分段函數、隱函數、參數方程定義的函數、變上限積分函數)
識別各類函數,並作進一步討論(如識別該函數為隱函數,並求導數)。
極限
定義(數列極限、函數極限、左極限、右極限、無窮小、無窮大)
概念題。
性質(唯一性、有界性、保號性)
有界性考概念題,保號性結合其他考點(極值、拐點、級數)考查。
計算(四則運算法則、洛必達法則、等價無窮小替換、夾逼定理、單調有界必有極限原理、重要極限、泰勒公式)
極限計算是必考題。
連續
定義
根據定義判斷函數在一點、開區間以及閉區間的連續性。
間斷點
求給定函數的間斷點(找“可疑點”,再按照間斷點的分類標准一一判斷)。
初等函數的連續性
利用初等函數的定義識別初等函數,並利用此處的結論判斷其連續性。
閉區間上連續函數的性質
用此處結論(最值定理、介值定理、零點定理)做中值相關証明題 。
二、一元函數微分學
模塊
考試內容
真題題型
導數定義
導數定義
湊定義算極限、可導的充要條件。
微分定義
由微分定義得出的微分的計算公式。
可導、可微、連續之間的關系
分段點處的連續性與可導性。
導數計算
求導公式、法則
求一元函數導數,求多元函數的偏導數。
常考類型
冪指函數求導、參數方程確定的函數求導和隱函數求導。求高階導數。
導數應用
切線與法線
求切線方程、法線方程以及曲線相切問題。
單調性
求函數的單調區間或証明函數的單調性,不等式証明,根或零點問題。
極值
找極值點或極值(利用極值的必要條件和充分條件)。
凹凸性
求函數的凹凸區間或判斷函數的凹凸性。
拐點
找拐點(利用拐點的必要條件和充分條件)。
漸近線、曲率
求函數的漸近線(用漸近線的定義)。數一數二要求會用曲率的計算公式算曲率,利用曲率圓和曲率半徑的概念解題。
中值定理
中值定理(費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)
中值相關証明(從待証式子出發,分析選擇哪類定理(連續相關定理、微分相關定理、積分相關定理))。用泰勒公式算極限。
三、一元函數積分學
模塊
考試內容
真題題型
不定積分
原函數與不定積分
根據原函數與不定積分的關系求不定積分。
性質
利用性質化簡不定積分。
計算
考查湊微分法、根式的處理、分部積分法。有理函數積分,三角有理式的積分,指數有理式的積分。
定積分
定義
利用定義算極限(先由定積分的定義推出基本公式,在將所求極限湊成公式的形式(可分兩步走“湊i/n”,“提1/n”),再將極限化為定積分,通過算定積分間接算極限)。利用定義體現的微元法思想處理應用問題。
性質
利用性質對定積分變形。單獨考查比較定理(考研考查定積分的比較本質上都在考查比較定理)。
微積分基本定理
變限積分求導定理的証明。利用變限積分求導定理求變限積分的導數(由變限積分和另一函數構造的復合函數,被積函數同時含有積分變量和求導變量)。利用牛頓萊布尼茨公式計算定積分。
定積分應用
幾何應用
平面圖形的面積(直角坐標系下曲邊梯形的面積和極坐標系下曲邊三角形的面積),簡單幾何體的體積(包括旋轉體的體積)。數一數二考查曲線弧長和旋轉體的側面積。幾何應用側重套公式計算。
物理應用
數一數二考查變力做功,形心質心和液體的靜壓力(利用微元法推出基本公式)。物理應用側重套利用微元法推導。
廣義積分
定義
利用定義判斷廣義積分的斂散性。
計算
計算廣義積分(可視為“定積分+取極限”)。
同學們在學習每一個知識點的過程中,要做好筆記。對於自己不理解的地方要標記出來,便於后期進行查漏補缺。每做完一道題目,要明白其解題思路,對於解題過程中所用到的方法、技巧進行歸納總結,今后再遇到同類型題目時,不費吹灰之力便可解決。如在求解極限的題目中,什麼時候使用洛必達法則、等價無窮小,這種解題技巧有必要進行總結。
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