2021年山东济南中考数学真题以及答案

　　山东省济南市中考数学试卷

　　一、单选题。（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．）

　　1、9的算术平方根是（ ）

　　A、3 B、﹣3 C、±3 D、

　　2、下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）

　　A、

　　

　　B、

　　

　　C、

　　

　　D、

　　

　　3、2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星上成功着陆，火星具有和地球相近的环境，与地球最近的时候的距离约55 000 000km，将数字55 000 000用科学记数法表示为（ ）

　　A、0.55×108 B、5.5×107 C、5.5×106 D、55×106

　　4、如图，AB∥CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数是（ ）

　　A、45° B、60° C、75° D、80°

　　

　　5、以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

　　A、

　　

　　B、

　　

　　C、

　　

　　D、

　　

　　6、实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

　　

　　A、a+b＞0 B、﹣a＞b C、a－b＜0 D、﹣b＜a

　　7、计算的结果是（ ）

　　A、m+1 B、m－1 C、m－2 D、﹣m－2

　　8、某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”，“文明出行”，“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选在同一个宣传队的概率是（ ）

　　A、 B、 C、 D、

　　9、反比例函数的图象的两支分别位于第一、三象限，则一次函数y=kx－k的图象大致是（ ）

　　A、

　　

　　B、

　　

　　C、

　　

　　D、

　　

　　10、如图，某无人机在距地面高度135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得实验田左侧边界M处俯角为35°，则M、N之间的距离为（ ）。（参数数据tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）

　　A、188m B、269m C、286m D、312m

　　

　　11、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B、D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，下列结论中不正确的是（ ）

　　

　　A、BE=DE B、DE垂直平分线段AC C、 D、BD2=BC?BE

　　12、新定义，在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P’（m，n’），若满足m≥0时，n’=n－4，m<0时，n’=﹣n，则称点P’（m，n’）是点P（m，n）的限变点，例如：点（2，5）的限变点是（2，1），点（﹣2，3）的限变点是（﹣2，﹣3），若点P（m，n）在二次函数y=﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P’的纵坐标n’的取值范围是（ ）

　　A、﹣2≤n’≤2 B、1≤n’≤3 C、1≤n’≤2 D、﹣2≤n’≤3

　　二、填空题。（本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．）

　　13、因式分解：a2－9= ；

　　14、如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等分，若将飞镖随机投掷到圆面上，则飞镖罗子昂黑色区域的概率是 ；

　　

　　15、如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCD的边AB上，则∠PAE= ；

　　

　　16、关于x的一元二次方程x2+x－a=0的一个根是2，则另一个根是 。

　　17、漏刻是我国古代的一种计时工具，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据正确当h为8cm时，对应的时间t为 min。

　　

　　

　　18、如图，是一个由8个正方形组成的“C”模型恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M、N、O、P、Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积为1，则边AB的长为 ；

　　

　　三、解答题。

　　19、（6分）

　　计算：

　　20、（6分）

　　解不等式：，并写出它的所有整数解；

　　21、（6分）

　　如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、CD上的点，且∠ABE=∠CBF。证明：DE=DF；

　　

　　22、为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用”，共建节约型社区活动，志愿者随机抽取了社区50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表。

　　方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据：

　　

　　

　　（1）统计表中a= ；

　　（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为 度；

　　（3）C组数据的众数为 ；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是 ；

　　（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民使用方便筷数量不少于15双人数；

　　23、（8分）

　　如图，已知AB是C、D是上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC。

　　（1）证明：∠DAB=2∠ABC;

　　（2）若tan∠ADC=，求的半径；

　　

　　24、（10分）

　　端午节粽子是中华民族的传统习俗，某超市购进甲、乙两种粽子，已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍。

　　（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

　　（2）为满足消费者需求，该超市准备比再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1120元，问最多购进多少个甲种粽子？

　　25、（10分）

　　如图，直线y=x与双曲线y=交于A、B两点，点A坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD。

　　（1）求k的值，并直接写出点B的坐标；

　　（2）点G是y轴上动点，连接GB，CG，求GB+GC的最小值；

　　（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；

　　

　　26、（12分）

　　在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BD=BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为a，连接DE、CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF。

　　（1）如图1，当a=180°时，请直接写出线段AF和线段BE的数量关系；

　　（2）当0°

　　①如图2，（1）中线段AF和线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

　　②如图3，当B、E、F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由；

　　

　　图1 图2 图3

　　27、（12分）

　　抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C。

　　（1）求抛物线的表达式以及顶点坐标；

　　（2）如图1，点P在抛物线上，链接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC 为底的等腰三角形，求点P的坐标；

　　（3）如图2，在（2）条件下，点E在线段AC上（与点A、C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围；

　　

　　图1 图2

　　答案解析

　　一、单选题。（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．）

　　1、9的算术平方根是（ A ）

　　A、3 B、﹣3 C、±3 D、

　　2、下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ C ）

　　A、

　　

　　B、

　　

　　C、

　　

　　D、

　　

　　3、2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星上成功着陆，火星具有和地球相近的环境，与地球最近的时候的距离约55 000 000km，将数字55 000 000用科学记数法表示为（ B ）

　　A、0.55×108 B、5.5×107 C、5.5×106 D、55×106

　　4、如图，AB∥CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数是（ B ）

　　A、45° B、60° C、75° D、80°

　　

　　5、以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ A ）

　　A、

　　

　　B、

　　

　　C、

　　

　　D、

　　

　　6、实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ B ）

　　

　　A、a+b＞0 B、﹣a＞b C、a－b＜0 D、﹣b＜a

　　7、计算的结果是（ B ）

　　A、m+1 B、m－1 C、m－2 D、﹣m－2

　　8、某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”，“文明出行”，“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选在同一个宣传队的概率是（ C ）

　　A、 B、 C、 D、

　　9、反比例函数的图象的两支分别位于第一、三象限，则一次函数y=kx－k的图象大致是（ D ）

　　A、

　　

　　B、

　　

　　C、

　　

　　D、

　　

　　10、如图，某无人机在距地面高度135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得实验田左侧边界M处俯角为35°，则M、N之间的距离为（ C ）。（参数数据tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）

　　A、188m B、269m C、286m D、312m

　　

　　11、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B、D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，下列结论中不正确的是（ C ）

　　

　　A、BE=DE B、DE垂直平分线段AC C、 D、BD2=BC?BE

　　12、新定义，在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P’（m，n’），若满足m≥0时，n’=n－4，m<0时，n’=﹣n，则称点P’（m，n’）是点P（m，n）的限变点，例如：点（2，5）的限变点是（2，1），点（﹣2，3）的限变点是（﹣2，﹣3），若点P（m，n）在二次函数y=﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P’的纵坐标n’的取值范围是（ D ）

　　A、﹣2≤n’≤2 B、1≤n’≤3 C、1≤n’≤2 D、﹣2≤n’≤3

　　二、填空题。（本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．）

　　13、因式分解：a2－9= （a+3）（a－3） ；

　　14、如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等分，若将飞镖随机投掷到圆面上，则飞镖罗子昂黑色区域的概率是 ；答案是

　　

　　15、如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCD的边AB上，则∠PAE= 18° ；

　　

　　16、关于x的一元二次方程x2+x－a=0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 。

　　17、漏刻是我国古代的一种计时工具，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据正确当h为8cm时，对应的时间t为 15 min。

　　

　　

　　18、如图，是一个由8个正方形组成的“C”模型恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M、N、O、P、Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积为1，则边AB的长为 ；答案是

　　

　　三、解答题。

　　19、（6分）计算：

　　=4+1+3－2×1

　　=6

　　20、（6分）解不等式：，并写出它的所有整数解；

　　解不等式①x≥﹣2

　　解不等式②x＜1

　　不等式组的解集是﹣2≤x＜1

　　所有整数解有：﹣2，﹣1，0

　　21、（6分）

　　如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、CD上的点，且∠ABE=∠CBF。证明：DE=DF；

　　

　　证明：在菱形ABCD中

　　AB=BC=AD=DC，∠A=∠C。

　　又∵∠ABE=∠CBF

　　∴△ABE≌△BCF（ASA）

　　∴AE=CF

　　∵AD=DC

　　∴AD－AE=DC－CF

　　∴DE=DF

　　22、为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用”，共建节约型社区活动，志愿者随机抽取了社区50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表。

　　方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据：

　　

　　

　　（1）统计表中a= ；

　　（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为 度；

　　（3）C组数据的众数为 ；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是 ；

　　（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民使用方便筷数量不少于15双人数；

　　（1）9；

　　（2）72°；

　　（3）12；10；

　　（4）2000×38%=760人；

　　23、（8分）

　　如图，已知AB是C、D是上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC。

　　（1）证明：∠DAB=2∠ABC;

　　（2）若tan∠ADC=，求的半径；

　　

　　证明：连接OC，

　　∵EC是圆的切线

　　∴OC⊥CE

　　∵DE⊥CE

　　∴OC∥DE

　　∴∠DAB=∠AOC

　　由圆周角定理得：∠AOC=2∠ABC

　　∴∠DAB=2∠ABC

　　（2）连接AC

　　∵AB是圆的直径

　　∴∠ACB=90°

　　由圆周角定理得：∠ABC=∠ADC

　　∴tan∠ABC=tan∠ADC=，即=

　　∵BC=，∴AC=2，

　　由勾股定理得：=

　　∴圆的半径是

　　24、（10分）

　　端午节粽子是中华民族的传统习俗，某超市购进甲、乙两种粽子，已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍。

　　（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

　　（2）为满足消费者需求，该超市准备比再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1120元，问最多购进多少个甲种粽子？

　　解：（1）解设甲、乙两种粽子单价分别是2x元/元和x元/个。

　　，

　　解得x=4

　　经检验，x=4是原方程的根

　　2×4=8元/个

　　答略

　　（2）设购进甲粽子a个，则乙粽子（200－a）个。

　　4a+8（200－a）≤1120

　　a≤80

　　最多购买甲种粽子80个。

　　25、（10分）

　　如图，直线y=x与双曲线y=交于A、B两点，点A坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD。

　　（1）求k的值，并直接写出点B的坐标；

　　（2）点G是y轴上动点，连接GB，CG，求GB+GC的最小值；

　　（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；

　　

　　解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入y=x得﹣3=m，

　　m=﹣2，∴A（﹣2，﹣2），∴k=﹣2×（﹣3）=6

　　反比例表达式是y=

　　由得，或

　　B点坐标为（2，3）

　　（2）如图1，

　　

　　作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F。

　　∴BE∥CF。

　　∴△DCF∽△DBE

　　∴

　　∵BC=2CD，BE=3，

　　∴即

　　∴CF=1，∴C（6，1）

　　作点B 关于y轴的对称点B’，连接B’C交y轴于点G，则B’C就是BG+CG的最小值。

　　∴B’C==2

　　∴BG+CG的最小值是2。

　　（3）P（）或（0，）

　　26、（12分）

　　在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BD=BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为a，连接DE、CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF。

　　（1）如图1，当a=180°时，请直接写出线段AF和线段BE的数量关系；

　　（2）当0°

　　①如图2，（1）中线段AF和线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

　　②如图3，当B、E、F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由；

　　

　　图1 图2 图3

　　（1）

　　（2）①成立：理由如下

　　∵△CEF时等腰直角三角形；

　　∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC

　　∴∠BCA=45°，

　　∴∠ECF=∠BCA，=

　　∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE

　　∴∠ACF=∠BCE

　　∵

　　∴△CAF∽△CBE

　　∴

　　②四边形AECF是平行四边形

　　27、（12分）

　　抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C。

　　（1）求抛物线的表达式以及顶点坐标；

　　（2）如图1，点P在抛物线上，链接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC 为底的等腰三角形，求点P的坐标；

　　（3）如图2，在（2）条件下，点E在线段AC上（与点A、C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围；

　　

　　图1 图2

　　（1）y=﹣x2+2x+3 C（1，4）

　　（2）P（）

　　（3）﹣1