2020年上海中考数学压轴解析

　　25.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.

　　(1)求证：∠BAC=2∠ABD；

　　(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠C的大小；

　　(3)当AD=2,CD=3时，求边BC的长.

　　（1）根据等腰三角形性质和⊙O是△ABC的外接圆，作辅助线：连结OA和OC.

　　OA=OB=OC=R.

　　∠1=∠2；∠3=∠4；∠5=∠6；

　　∠ABC=∠ACB;

　　则∠2=∠4；得∠1=∠2=∠3=∠4

　　∠BAC=2∠ABD。

　　（2）当△BCD是等腰三角形时，注意有分类讨论哦。

　　当BD=CE时，∠DBC=∠C,已知AB=AC，∠ABC=∠ACB

　　则BD=BA，与已知矛盾，该情况不能成立。

　　当BD=BC时

　　角度等量关系如图所示，8θ=180°，θ=45/2，∠C=135/2;

　　当CB=CD时

　　10θ=180°，θ=18°，∠C=72°。

　　（3）

　　延长BD交圆于E，连结AE.连结AO并延长交BC于H.

　　从前面可知，AH垂直BC于H.BE是圆O的直径，∠BAE=90°

　　设OD=x,BD=R+x;DE=R-x.

　　有两组△相似，即△DAO∽△DBA；△EDA∽△CDB

　　由此解得x与R的值，AE可求，sin∠ABE=sin∠HAC

　　HC可求，BC=2HC

　　解得的数据遗失，只好讲讲思路……

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