七年级数学上册角平分线几何综合题汇总

　　七年级数学上册角平分线几何综合题汇总

　　角平分线定义和角的有关计算，既是教学中的重点，也是难点。需要学生掌握方法和技巧，在学习了线段射线的基础上加强学生分析解题的能力，规范书写。

　　1、如图所示，直线AB、CD是经同一点O的不同直线，OE是∠BOD的角平分线，OF是∠COE的角平分线，当∠1=100°时，求∠COF的度数

　　

　　解：∵∠1=100°，

　　∴∠BOD=180°-100°=80°，

　　∵OE是∠BOD的角平分线，

　　∴∠DOE=∠BOD=40°，

　　∴∠COE=180°-40°=140°，

　　∵OF是∠COE的角平分线，

　　∴∠COF=∠COE=70°．

　　2、如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数

　　

　　解：∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=40°，

　　∴∠BOC=2×40°=80°，

　　∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=80°+40°=120°，

　　∵OD平分∠AOB，

　　∴∠AOD=∠AOB=×120°=60°，

　　∴∠COD=∠AOD-∠AOC=60°-40°=20°．

　　3、.如图，∠AOD=150°，∠AOB=40°，∠COD=70°，OM、ON分别是∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数

　　

　　解：∵∠AOB=40°，∠COD=70°，OM、ON分别是∠AOB、∠COD的平分线，

　　∴∠AOM=∠AOB=×40°=20°，

　　∠DON=∠COD=×70°=35°，

　　∴∠MON=∠AOD-∠AOM-∠DON=150°-20°-35°=95°．

　　4、已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．

　　（1）求∠MON的大小；

　　（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？

　　解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=40°，

　　∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，

　　∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，

　　∴∠MOC＝∠BOC＝65°，∠NOC＝∠AOC＝20°．

　　∴∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-20°=45°，

　　（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．

　　∵∠MON＝∠MOC?∠NOC＝∠BOC?∠AOC＝(∠BOC?∠AOC)=∠AOB，

　　又∠AOB是直角，不改变，

　　∴∠MON＝∠AOB＝45°．

　　5、如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？

　　（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；

　　（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．

　　

　　解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，

　　∠BOC=60°，

　　∴∠AOC=90°+60°=150°，

　　∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

　　∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°

　　∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°

　　（2）如图2，∠MON=α，

　　理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，

　　∴∠AOC=α+60°，

　　∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

　　∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°

　　∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（α+30°）-30°=α

　　（3）如图3，∠MON=α，与β的大小无关．

　　理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，

　　∴∠AOC=α+β．

　　∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，

　　∴∠MOC=∠AOC=（α+β），

　　∠NOC=∠BOC=β，

　　∴∠AON=∠AOC-∠NOC=α+β-β=α+β

　　∴∠MON=∠MOC-∠NOC

　　=（α+β）-β=α

　　即∠MON=α．

　　6、如图1，∠AOB=140°，∠AOD在∠A OB的内部，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD．

　　（1）若∠AOD=28°，则∠COE的度数为（直接写出答案）（2）若∠AOD=x°，求∠COE的度数？

　　（3）如图2，若将题中的“∠AOB=140°”改为“∠AOB=m°”，将“∠AOD在∠A OB的内部”改为“∠AOD在∠AOB的外部”，其它条件不变，当∠AOD=x°时，求∠COE的度数？

　　解：（1）∵OC平分∠AOD，OE平分∠BOD．

　　∴∠COD=∠AOD，∠EOD=∠BOD，

　　∴∠COE=∠COD+∠EOD=（∠AOD+∠BOD）=∠AOB=

　　×140°=70°．

　　故答案是：70°；

　　（2）∠COE=∠AOB=70°，与∠AOD的度数无关，

　　答：若∠AOD=x°，则∠COE的度数为：70°．

　　（3）∵∠AOB=m°，OE平分∠BOD．

　　∴∠DOE=

　　∵∠AOD=x°，OC平分∠AOD，

　　∴∠COD=x°

　　∴∠COE=∠DOE-∠COD=-x°=m°

　　答：∠COE的度数为：m°．

　　7、已知：如图，线段OA、OB、OC、OD、OE在同一平面内，且∠AOE=110°，∠AOB=20°．

　　（1）若OB平分∠AOC，求∠COE的度数．

　　（2）在（1）条件下，若OD也平分∠BOE，求∠COD的度数．

　　（3）若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻与分针，则经过多少时间，OA与OB第一次垂直．解：（1）∵OB平分∠AOC，∠AOB=20°，

　　∴∠AOC=2∠AOB=40°，

　　∵∠AOE=110°，

　　∴∠COE=∠AOE-∠AOC=70°

　　（2）∵∠AOE=110°，∠AOB=20°，

　　∴∠BOE=∠AOE-∠AOB=90°，

　　∵OD平分∠BOE，OB平分∠AOC，

　　∴∠BOD=

　　∠BOE=45°，∠BOC=∠AOB=20°，

　　∴∠COD=∠BOD-∠BOC=25°；

　　（3）设经过x分钟，OA与OB第一次垂直．

　　由题意得，6x-x=90+20，解得x=20．

　　答：经过20分钟，OA与OB第一次垂直．

　　本题考查了角的计算，角平分线定义，准确识图用一元一次方程追击问题的相等关系是解题的关键．

　　8、如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

　　

　　（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM= 度；

　　（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

　　（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 秒．

　　解：（1）∵OM恰好平分∠BOC，

　　∴∠BOM=120°÷2=60°，

　　∴∠AOM=180°-60°=120°

　　（2）如图3，，

　　∠AOM-∠NOC=30°，

　　∵∠BOC=120°，

　　∴∠A0C=60°，

　　∵∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，

　　∴∠AOM-∠NOC=30°．

　　（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，

　　∴∠AOC=60°，

　　∴∠BON=∠COD=30°，

　　∴旋转60°时ON平分∠AOC，

　　∵10x=60或10x=240，

　　∴x=6或x=24，

　　即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒．

　　故答案为：120、6或24．

　　此题主要考查了角的角平分线的性质和应用，分类讨论思想的应用是关键

　　9、点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．

　　（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=

　　（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；

　　（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=∠AOM，求∠NOB的度数．

　　

　　解：（1）∵∠MON=90°，∠BOC=65°，

　　∴∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°．

　　故答案为：25°．

　　（2）∵∠BOC=65°，OC是∠MOB的角平分线，

　　∴∠MOB=2∠BOC=130°

　　∴∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°．

　　∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°

　　（3）∵∠NOC=∠AOM，

　　∴∠AOM=4∠NOC．

　　∵∠BOC=65°，

　　∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°．

　　∵∠MON=90°，

　　∴∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°

　　∴4∠NOC+∠NOC=25°．

　　∴∠NOC=5°．

　　∴∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°

　　10、如图1，OC是从直线AB上一点O引出的任意一条射线，OE平分∠AOC，沿顺时针方向作∠EOF，使得∠EOF=135°，以点O为端点引射线OD，使得OF是∠BOD的角平分线．

　　（1）判断OC、OD的位置关系并说明理由；

　　（2）若如图2所示，∠EOF=45°，OC、OD的位置关系是否发生变化？并说明理由．

　　

　　解：（1）OC⊥OD．

　　∵∠BOE+∠AOE=180°，∠BOE+∠BOF=135°

　　∴∠AOE-∠BOF=45°

　　又∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

　　∴∠COE-∠DOF=45°．

　　∴∠COD=∠EOF-∠COE+∠DOF=135°-45°=90°．

　　∴OC⊥OD；

　　（2）OC、OD的位置关系不变．

　　∵OE平分∠AOC，OF是∠BOD，

　　∴∠BOD+∠EOF+∠AOC＝180°．

　　∴∠BOD+∠AOC=270°．

　　∵∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，

　　∠AOD+∠BOC=180°-∠BOD+（180°-∠AOC）=360°-270°=90°，

　　∴∠COD=90°．

　　∴OC、OD的位置关系不变．

　　11、O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．

　　（1）如图1，∠AOC与∠DOE的数量关系为，

　　∠COF和∠DOE的数量关系为

　　（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；

　　（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由．

　　

　　解：（1）∵∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，

　　∴∠AOC+∠DOE=90°，

　　∵射线OF平分∠AOE，

　　∴∠AOF=∠EOF=∠AOE，

　　∴∠COF=∠AOF-∠AOC=∠AOE-（90°-∠DOE）=(180°?∠DOE)?90°+∠DOE=∠DOE，

　　故答案为：互余，∠COF＝∠DOE；

　　（2）∠COF＝∠DOE

　　∵OF平分∠AOE，

　　∴∠AOF＝∠AOE，

　　∵∠COE=90°，

　　∴∠AOC=90°-∠AOE，

　　∴∠COF=∠AOC+∠AOF=90°-∠AOE+∠AOE=90°-∠AOE，

　　∵∠AOE=180°-∠DOE，

　　∴∠COF=90°-（180°-∠DOE）=∠DOE，

　　即∠COF＝∠DOE；

　　（3）∠COF＝180°?∠DOE．

　　∵OF平分∠AOE，

　　∴∠EOF＝∠AOE，

　　∴∠COF=∠COE+∠EOF=90°+∠AOE=90°+(180°?∠DOE)=180°-∠DOE，

　　即∠COF＝180°?∠DOE．

　　12、如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．

　　（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；

　　（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；

　　（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．

　　解：（1）由题意可得，

　　20t=5t+120

　　解得t=8，

　　即t=8min时，射线OC与OD重合；

　　（2）由题意得，

　　20t+90=120+5t或20t-90=120+5t，

　　解得，t=2或t=14

　　即当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD；

　　（3）存在，

　　由题意得，120-20t=5t或20t-120=5t+120-20t或20t-120-5t=5t，

　　解得t=4.8或t=或t=12，

　　即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为

　　min，当以OD为角平分线时，t的值为12min

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