【考研必备】北京航空航天大学891数学综合考研大纲及经验分享

　　编者按

　　各位报考2022年北京航空航天大学数学专业的研究生同学,大家好!在2022年考研前,为了帮助考生进行有效的复习备考,以便在较短的时间内掌握有关课程的内容本人结合自己的考研经验,并依据本人对609综合课和891基础课理解,根据同学们的需求进行总结,特编辑《北京航空航天大学2022年609、891考研辅导讲义》。本人提供的数类专业系列考研资料,旨在帮助同学们提高复习效率,同时把握考研重点总结考试规律。

　　下面我将简要介绍数学专业的考试情况所需参考资料。

　　在2010年以前北航数学真题考查科目为数学分析和高等代数两门课2010年以后北航数学真题的命题模式发生两个变化第一是考查科目发生了变化第二是分值发生了变化。建议2022年考生在综合课选择概率论和常微分方程,对于基础课来说,2022年的考查方式估计不会发生变化,仍然是考察数学分析和高等代数两门,各占75分。

　　1.1考试科目

　　2010—2012年考试科目为高等代数+数学分析常微分方程+抽象代数+概率论与数理统计,2013-2014年考试科目为高等代数+数学分析常微分方程+抽象代数+概率论与数理统计+系统控制(四选二)2015-2020年考试科目高等代数+数学分析,常微分方程+抽象代数+概率论与数理统计(三选二)。从近10年真题来看,高等代数+数学分析+常微分方程+概率论与数理统计+抽象代数,这五门科目在2010-2020年的真题中每年都会出现,在未来北航数学真题出题过程中,这几门科目可以说百分之百会成为必考科目,基础课的科目不会发生变化综合课必然有常微分方程+概率论与数理统计+抽象代数,三选二和四选二的可能性比较大。(北航每年在8月份左右会出考试大纲但是考生基本在3月份左右都应该明确考研数学要复习的科目,在考试大纲出来之前,考生其实重点复习高等代数+数学分析常微分方程+概率论与数理统计+抽象代数选择两门重点复习,等考试大纲出来再做一定的调整。)

　　1.2考试分值

　　2010-2020年高等代数+数学分析为基础课,各占75分综合课常微分方程+抽象代数概率论与数理统计各占50分,2013-2014年常微分方程+抽象代数+概率论与数理统计系统控制(四选二),各占75分,2015-2020年常微分方程+抽象代数+概率论与数理统计(三选二),各占75分。在未来北航数学真题出题过程中,基础课分值不会发生变化,综合课无非三选二、四选二、三门全选分值也基本稳定,每门课程75分或者50分。

　　1.3教材参考书目

　　数学专业基础课：

　　《高等代数》北京大学(第三版)高等教育出版社；

　　《线性代数(数学专业用)》李尚志编著，高等教育出版社，2006年版。

　　《数学分析》(上、下册)陈纪修等(第三版)，高等教育出版社。

　　《数学分析》(上、下册)华东师范大学数学系编（第四版），高等教育出版社。

　　数学专业综合课:

　　《常微分方程》东北师范大学第三版，高等教育出版社；

　　《概率论及数理统计》(上、下册,邓集贤等,高等教育出版社2009年；

　　《概率论与数理统计》严士健等，高等教育出版社,1997年。

　　注意:《数学分析》和《概率论及数理统计》教材二选一即可。

　　1.4习题参考书籍

　　数学分析:《数学分解题精粹》(第二版)，钱吉林编著。

　　数学分析:《数学分析中的典型问题与方法》,裴礼文。

　　髙等代数:《高等代数解题精粹》(第二版),钱吉林编著。

　　概率论与数理统计:《概率论与数理统计辅导讲义》,王式安主编,《张宇概率论与数理统计9讲》,张宇主编。

　　注意:对于基础薄弱者,数学分析参考《数学分析解题精粹》,如果数学基础扎实,可以先复习完《数学分析解题精粹》,进一步挑选《数学分析中的典型问题与方法》一些章节,针对自己的薄弱部分进行复习

　　1.5数学考研初试题目说明及应试技巧

　　就609基础课来说,数学分析和高等代数分为计算题和证明题,一般压轴题都为证明题,都有一定难度,建议考生看到这种题不要慌,如果五分钟之内没有任何思路,考生应该选择去做会做的题,最后留时间把难题写一下,但是千万不能空题,多少写一点还是会给一点分的。计算题考察一个人的计算能力和细心程度,建议考生平时加强练习,才能熟能生巧。对于891综合课来说,常微分方程会有问答题,属于送分题目,但是基础不扎实,容易失分,因此建议考生熟悉概念以及一些相关定理。此外,常微分方程主要以计算题为主,证明题难度较小,这部分考生特别注意一些典型方程的解法。概率论与数理统计会有填空题和选择题出现,选择题属于送分题目,但是填空题容易错,希望这部分考生特别注意。此外,概率论证明题有一定难度,往往会用到一些定理,建议考生把相关定理的英文缩写符号记忆清楚。

　　最后,我想提醒各位的是,考研的过程非常考验一个人体力和意志，胜者为王,有付出不一定有回报,但是不付出一定没有回报,所以我希望大家在复习的时候,脚踏实地,保持内心的平静,坚持下去,不为外部所扰，讲义是对全书考点的一个浓缩,起辅助指导的作用,希望考生能正确运用讲义真复习,考出一个理想的成绩。

　　因编写时间有限,加之作者水平有限，讲义中的不足与不妥之处在所难免,恳切希望广大使用本讲义的考生批评指正。

　　891数学专业综合课考试大纲

　　请考生注意:

　　1、数学专业综合课试题含常微分方程、近世代数、概率论与数理统计三门课程的内容,考生可任选其中二门课程的试题解答,多选无效

　　2、每门课试题满分75分

　　常微分方程考试大纲

　　(一)初等积分法

　　1、、熟练掌握变量可分离方程、可为变量分离方程的类型、一阶线性方程与常数变易法、全微分方程与积分因子等的解法。掌握一阶隐方程与参数表示。

　　2、会应用降阶法解程。

　　3、会建立简单的微分方程模型。

　　(二)线性方程和线性方程组

　　1、掌握线性微分方程(组)的一般理论。

　　2、掌握常系数线性微分方程组)的解法。

　　3、能应用线性方程(组)解的结构对方程的解做简单定性分析。

　　4、了解二阶线性方程的幂级数解法和 Laplace方法。

　　5、会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。

　　6、会求二阶微分方程组的奇点及其类型。

　　(三)基本定理

　　1、掌握初值问题的存在、唯一性定理和解的延拓及解关于初值的连续、可微性定理

　　2、掌握解的存在、唯一性定理及证明

　　近世代数考试大纲

　　(一)基本概念

　　1、理解集合与映射的概念,掌握集合之间的运算,能够在集合之间建立映射关系,并判断两个映射是否相同。

　　2、掌握代数运算与映射的关系,能够建立有限集合之间的运算表,并判断给定的运算是否满足结合律、交换律以及两种分配律。

　　3、掌握同态映射、同构映射和自同构的概念,理解同态与同态满射(满同态)的关系,并能判定映射是否是同态满射(满同态),掌握具有同态满射满同态)的集合之间的联系。能够判定给定的映射和运算是否是同构关系能建立两个集合之间的同构映射。

　　4、理解关系和等价关系的概念,掌握等价关系和分类关系之间的转换定理,熟练判定给定的关系是否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特牲,能够建立整数间给定模的剩余类。

　　(二)群论

　　1、掌握群的等价定义和例子，理解左、右单位元,左、右逆元的意义,掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性,了解消去律的定义,能熟练掌握群与阶的关系,会计算群元素的阶。

　　2、理解群同构,同态的定义,掌握一个群的自同构的集合也成群的证明,掌握群同态的有关性质,能证明在同态满射下,单位元的像也是单位元,元a的逆元的像是a的像的逆元。

　　3、掌握循环群的定乂和由生成元决定循环群的性质与特点,熟练掌握剩余类加群,并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。

　　4、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法,能证明可以成群的变换只包含一一变换,且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。掌握元素求逆等运算。

　　5、理解置换与置换群的定义与性质,掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字(不相连)的循环置换(轮换)的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。

　　6、掌握子群的定义,掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理,并能掌握找出已知群的子群的一般方法,了解群与子群中的单位元与逆元的关系,以及子群与子群之间的关系。

　　7、掌握陪集的定乂,以及与等价关系和分类之间的关系,了解子群与陪集之间的关系,并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理,以及阶为素数的群一定为循环群的证明。

　　8、掌握不变子群(正规子群)的定义,能掌握一个群的子群是不变子群(正规子群)的充分必要条件的定理,理解商群的定义,能证明一个群同它的每一个商群同态的定理,了解核的定义,掌握两个具有同态关系的群之间子群或酸父伊并(正规子群)的象的性质。并能将子群或不变子群(正规子群)的性质运用到循环群变换群等群之中。

　　9、掌握sylow定理的应用。

　　(三)环与域

　　1、理解交换环的定义和例子,理解单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。

　　掌握消去律与零因子的关系。

　　2、了解除环的定义,能出域的例子,除环与加群、乘群的关系。熟悉无零因子环中的计算规则,掌握无零因子环中特征的性质

　　3、理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念,了解同态、同构环之间的性质,了解多项式成环,熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

　　4、掌握理想的定义,理解理想的构成,以及零理想、单位理想和主理想的构成,能判断一个子环是否为理想,和理想是否为主理想。了解什么是最大理想,且和剩余类环的关联。

　　5、掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环,了解商域的构成,并掌握同构的环的商域也同构的定理。理解主理想环的概念和引理,能证明主理想环是唯一分解环。

　　6、理解欧氏环的定义,理解欧氏环、整数环都是主理想环与唯一分解环的证明,并能证明域一定是一个欧氏环。

　　概率论与数理统计考试大纲

　　(一)概率论

　　1、理解随机事件和样本空间的概念,掌握事件之间的关系与运算;理解并熟练掌握概率的古典定义;理解几何概率,概率的统计定乂及公理化定乂;熟练掌握概率的基本性质,会用于计算;理解并掌握条件概率的定义,事件独立性。熟练掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式及其应用;熟练掌握 Bernoulli概型。

　　2、理解随杋变量的概念;理解并熟练掌握分布函数、分布律、概率密度等概念及其性质,掌握分布函数与分布律,分布函数与概率密度之间的关系;掌握二项分布、Poisson分布、均匀分布、指数分布,熟练掌握正态分布,会查标准正态分布表，熟练掌握随机变量函数分布的求法。

　　3、熟练掌握随机变量的数学期望、方差及其求法。掌握特征函数的定义及性质特征函数与期望和方差之间的关系,理解反演公式和唯一性定理。

　　4、理解二维随机变量及其分布的定义,会求边缘分布。掌握随机变量的独立性；掌握二维随机变量期望、方差、协方差、相关系数及其性质;理解条件分布和条件数学期望;会求二维随机变量函数的分布;理解二维随机变量特征函数及其性质;了解三维及三维以上随机变量的定义和分布:掌握n维正态分布定义及性质,x2分布、t分布和F-分布。

　　5、理解大数定律和中心极限定理的统计背景,意义及其应用,了解依概率1收敛,依概率收敛及依分布收敛的意义和相互关系。

　　(二)数理统计

　　1、掌握数理统计的基本概念;熟练掌握矩估计法和极大似然估计法:熟练掌握无偏估计、有效估计和相合估计;熟练掌握区间估计定义及其意义

　　2、充分理解和掌握 Neyman-Pearson假设检验的基本思想和方法:熟练掌握正态总体参数假设检验方法。

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