初二数学，直角三角形好题，同时考查三角形全等及三角形相似

　　如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG，于点E，BF⊥AG于点F，设BG/BC＝k.

　　

　　（1）求证：AE=BF；

　　（2）连接BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β，求证：tanα＝k·tanβ；

　　（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2， 求S2/S1的最大值。

　　【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义，可证得∠ADE=∠BAF，∠ADE=∠BAF及AD=AB，利用全等三角形的判定，可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，从而可证得结论。

　　（2）根据已知易证Rt△BFG∽Rt△DEA，得出对应边成比例，再在Rt△DEF和Rt△BEF中，根据锐角三角函数的定义，分别表示出tanα、tanβ，从而可推出tanα=ktanβ。

　　（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，分别表示出△ABG、△ABD的面积，再根据BH/HD＝BG/AD=k,求出S1及S2，再求出S1与S2之比与k的函数解析式，求出顶点坐标，然后根据k的取值范围，即可求解。

　　解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，

　　∴ ∠BAF+∠EAD=90°，

　　又∵ DE⊥AG，

　　∴ ∠EAD+∠ADE=90°，

　　∴ ∠ADE=∠BAF，

　　又∵ BF⊥AG，

　　∴ ∠DEA=∠AFB=90°，

　　又∵ AD=AB，

　　∴ Rt△DAE≌Rt△ABF，

　　∴ AE=BF.

　　（2）如图所示：

　　

　　∵ 四边形ABCD是正方形.

　　∴ AD∥BC，AD＝BC.

　　∴ ∠DAE＝∠AGB.

　　∵ DE⊥AG，BF⊥AG.

　　∴ ∠AED＝∠BFG＝90°.

　　∴ Rt△BFG∽Rt△DEA.

　　∴ BF/DE＝BG/AD.

　　在Rt△DEF和Rt△BEF中，tanα=EF/DE，tanβ=EF/BF. 所以

　　

　　所以：tanα＝k·tanβ.

　　（3）如图，设正方形ABCD的边长为1，

　　

　　则BG=k，

　　∴△ABG的面积等于k/2.

　　∵ △ABD的面积等于1/2，BG/BC=k，

　　

　　所以

　　

　　所以

　　

　　∵ 0＜k＜1，

　　∴ 当k=1/2，即点G为BC中点时，S2/S1有最大值5/4.

　　【本题考点】

　　1. 全等三角形的判定与性质.

　　2. 正方形的性质.

　　3. 相似三角形的判定与性质.

　　4. 解直角三角形.

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