2020年高考数学真题，经典题目，高中生应该掌握

　　大家好！本文和大家分享一道2020年高考数学真题。这道题是2020年高考全国三卷的第17题，也就是第一道解答题，满分12分。题目考查的是递推法求数列通项公式、数学归纳法、错位相减求和等知识，这是一道比较经典的数列题，高中生应该掌握。

　　

　　先看第一小问。

　　要求a2的值，只需要将n=1以及a1=3代入递推关系中即可，解得a2=5。然后将n=2、a2=5代入递推关系就可以求出a3=7。

　　由于a1=3=2×1＋1、a2=5=2×2＋1、a3=7=2×3＋1，所以我们可以猜想an=2n+1。接下来我们用数学归纳法证明。

　　

　　首先要证明当n=1时，结论成立。而当n=1时，a1=2×1＋1=3，显然是成立的。

　　然后假设n=k时，结论成立，即ak=2k+1。再根据题干中的递推关系证明当n=k+1时，结论仍然成立。

　　由题意知，a(k+1)=3ak-4k=3(2k+1)-4k=6k+3-4k=2k+3=2(k+1)+1。即当n=k+1时，结论成立。

　　综上，可以证明an=2n+1。

　　

　　再看第二小问：求Sn。

　　要求数列的前n项和，首先需要表示出对应数列的通项公式，然后根据通项公式的特点选择求和方法。

　　如果是等差和等比数列，直接代公式就行；如果数列满足an=a1=a(n-1)+a2=…这样的形式，那么就可以用倒序相加求和；如果数列可看成一个等差数列与一个等比数列乘积的形式，那么就用错位相减求和；如果数列是分式形式，可以考虑裂项相消求和；如果数列可看成一个等差数列与一个等比数列的和的形式、或者两个等比数列之和的形式，则可以用分组求和。

　　

　　本题中，新数列可以看成是等比数列{2^n}与等差数列{an}相乘得到，所以可以用错位相减求和。

　　首先我们先直接写出Sn，即Sn=3×2+5×2^2+...+(2n+1)·2^n①。接下来将①式的两边同时乘以等比数列的公比，即2Sn=3×2^2+5×2^3+...+(2n+1)·2^(n+1)②。然后两式相减，就可以得到-Sn=3×2+2×2^2+2×2^3+...+(2n-1)2^n-(2n+1)2^(n+1)，其中2×2^2+2×2^3+...+(2n-1)2^n可以用等比数列求和公式来求解。不过需要注意的是此时只有n-1项了，而不是n项。最后化简就得到了答案。

　　

　　错位相减求和的方法其实并不难，难在计算上。相对于其他几种求和方法，错位相减的计算量要大得多，而且最终的结果往往比较复杂，所以很多同学选对了方法却没能得到正确的答案。

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