牛顿到底有多牛？看他如何想到引力的平方反比定律，你就知道了

　　艾萨克·牛顿，一个大家耳熟能详的人，他的名字太有名了，他是大多数人去的时候第一个认出来的人学物理学家和数学家，是人类历史上少有的天才级人物。

　　

　　牛顿本人就像他的名字一样，他真的很棒！他是人类历史上第一个将科学与神学分开的人。他凭借一己之力，总结前人的经验，凭借自己如获至宝一般的思考和见解，以及高超的数学能力，开创了经典物理学。.

　　最伟大的发现就是众所周知的万有引力。万有引力的发现不仅为开普勒三大定律提供了理论依据，还解释了人们在日常生活中看到的一切物体自由落体现象，以及行星绕太阳运行现象的本质。

　　

　　万有引力的数学公式看起来很简单，但是有两个非常关键的部分：万有引力的大小与两个物体的质量成正比，与两个物体之间距离的平方成反比。

　　第一部分我们还可以理解，但是第二部分F∝1/r，这个关系现在好像还是让我们很迷惑，为什么重力和质量物体距离的平方成反比呢？牛顿当时是怎么知道这个数学关系的呢？

　　今天我们就来说说平方反比的由来。通过这件事，我们可以充分了解当时牛顿的惊人见解。

　　

　　说牛顿之前，不得不提伽利略和笛卡尔这两位历史上著名的物理学家。因为牛顿自己说过，他的成就是站在巨人的肩膀上取得的。

　　伽利略本人不仅是一位伟大的天文学家，还是实验物理学的鼻祖。在伽利略之前，人们认为力是维持物体运动的基础。这种观点来自亚里士多德。

　　表示物体因为受到持续的力而移动。如果移除力，物体将保持静止。但伽利略认为力不是物体运动的根源，而是改变物理运动速度的原因。

　　其实伽利略几乎把牛顿第二定律说出来了。(F=ma)

　　

　　另一位是笛卡尔。开普勒提出行星运动三大定律后，显然亚里士多德提出的物理定律已经不适应新时代的要求。

　　（亚里士多德认为，在地球上，重物下落轻物升起，地球外的天空与地球不遵循相同的物理定律，天空由以太组成，各大行星在各自的位置天球围绕地球旋转，行星的天球之外是恒星的天球，然后是上帝掌管的天体天体力，为行星的运动提供原动力）

　　所以，为了为适应新的太阳系模型（日心说）和行星天球的椭圆轨道，迫切需要提出一套新的物理学来作为该模型的理论基础。

　　笛卡儿当时想创造新的物理学，想完成牛顿的工作，但最终还是没有成为牛顿那样的人。

　　不过，笛卡儿提出了一些惊人的见解，为牛顿后来的工作铺平了道路。

　　

　　首先，笛卡尔认为宇宙中除了物质和运动之外，再无其他。

　　这个想法相当关键，也就是说地球和天空没有区别，都遵循相同的物理定律。一个例子：笛卡尔认为苹果和月亮没有区别。

　　彻底否定了亚里士多德几千年来的天地之别观念。这个想法激发了牛顿敢于研究月球绕地球运行和苹果落在地上的问题。

　　其次，笛卡尔认为物体在没有外力的情况下会保持原状（静止或匀速直线运动），其数量守恒。

　　这个想法也启发了牛顿提出第一定律，就是惯性定律。

　　有了以上前人的成就，牛顿作为人类百年难得一见的天才，能够创造出新的物理学也就顺理成章了。

　　我们经常听说牛顿的万有引力来自于他在家躲避瘟疫时看到自家后院掉落的苹果。事实上，情况并非如此。牛顿躲过瘟疫的时间是1665年，万有引力出来的时间是1687年，中间过去了23年。

　　

　　足以看出万有引力不是牛顿灵机一动，而是几十年努力的结果，所以一个苹果不足以让牛顿发现万有引力。

　　但是这个掉落的苹果足以让牛顿认为苹果本身受到了一种看不见摸不着的力，否则苹果应该保持静止而不是掉落。（这一点可以从很久以前笛卡尔提出的惯性定律推导出来）

　　其实当时很多人都意识到了这一点（苹果应该是被迫掉下来的，但他们不敢相信），唯独牛顿敢于相信苹果在远处受到了一种无形的、神奇的力量的影响。

　　说实话，就算亚里士多德复活了，他也不敢相信世界上有这种神奇的力量，牛顿怎么会相信呢？

　　

　　因为在牛顿的心里住着一个全能的神，一个有自由意志的神。牛顿本人一生都痴迷于炼丹术。他相信世界上存在魔法和超自然现象。甚至有人认为，牛顿除了是科学家，还是人类历史上最后一位魔术师。

　　牛顿认为两个物体之间存在一定距离的力似乎是有道理的。

　　牛顿研究的不是离苹果很远的力，而是月球绕地球转的力。根据笛卡尔的洞见，牛顿自己想出了这样一个在当时非常先进的想法：

　　让苹果落地的力与使月球绕地球转的力是一样的。

　　不可否认，这是牛顿灵机一动的时刻。

　　为了验证自己的想法，牛顿还进行了一个惊人的思想实验。就是牛顿大炮。

　　

　　想象一下，在高山上架起一门大炮，如上图，现在大炮向前发射炮弹，除去空气阻力和神奇的重力，炮弹的轨迹是A，直线飞行线以恒定的速度，完全远离地面，不会掉到地上。

　　但是牛顿认为地球上有一种神奇的万有引力，所以炮弹的路径会变成B或C，落点的远近取决于炮弹的初速度。

　　那么当炮弹的速度达到一定值时，炮弹下落的速度就会等于地面的曲率。这时候炮弹是不能掉到地上的，它的路径是D。一定的曲率。那么，同样的道理也适用于绕地球旋转的月球。月球一直在接受地球的引力而坠落到地面。但是继续错过地面。

　　这个想法很神奇，不仅让牛顿知道了平方反比定律，而且这也是现代人类发射火箭的原理。没有聪明的大脑，是不可能想出这个思想实验的。

　　

　　那么牛顿是如何证明平方反比定律的呢？

　　上图是月球绕地球运行的轨道。月球的公转速度为V，如果月球不受地球引力的作用，那么它的轨道为AB，任意时刻AB的距离都等于VΔt。

　　但月球会受到地球引力的作用，那么月球会在Δt的时间内落向地球，落下距离为CB。

　　三角形EAB是一个直角三角形，所以可以通过勾股定理得到：

　　

　　其中EC和EA相等可以抵消，然后我们在公式两边除以2EC得到:

　　

　　上式中CB的值会随着Δt的减小而减小，而CB^2会比CB下降得更快，更快趋近于0，所以我们可以忽略掉上式中的CB^2，可得：

　　

　　AB上式中等于VΔt，EC其实就是月球的公转半径，所以：

　　牛顿当时也知道自由落体公式，他可以轻而易举地写出一个物体在Δt时间内的下落距离:

　　前面公式中的A是自由落体的加速度，所以根据公式(4)，我们可以将月球自由落体的加速度写成：a=v^2/R。也可写为：

　　上式中的ω为角速度，ω也可写为：

　　上式中的C为月球轨道的周长等于VT（轨道周期T月亮），所以ω=2π/T。

　　牛顿当时就已经知道了月球的公转周期和公转半径，将这些数代入式（7）和（6）就可以得到月球的a=0.274cm/s^2。

　　显然，月球在距地球R位置所受的重力加速度小于地球表面的重力加速度（g=981cm/s^2）；减少，但它们之间有什么关系呢？

　　对于地球表面，苹果到地球的距离是地球半径R=6371公里，月球到地球的距离是R=384400公里。

　　牛顿注意到g/a和R/R的比值分别是3580和60.33。

　　两者的关系大致是：

　　牛顿推导这个数学关系的过程并不是特别复杂。最主要的是，他的想法在当时是无与伦比的。

　　也可以说，牛顿当时敢这样想、这么算，完全是因为他方士的身份。他相信宇宙中存在着遥远的魔法力量。

　　通过对月球运行轨道的计算，牛顿更加确信自己的想法是正确的。重力是真实存在的，可以写成F=GmM/r^2。

　　并于1687年发表了人类历史上最伟大的杰作《原理》，为人类拨开迷雾，迎来科学之光。