大学生奶爸遭遇小学一年级奥数系列六 三瓶分水

　　先看题目：有3个水瓶，一个8升的装满水，还有两个空瓶没装水分别是5升和3升，瓶子上都没有刻度，也不透明，开不见里面的水，现在问：只利用这三个瓶子，相互倒水，怎么能把8升的水分出2个4升来？

　　解答：已知的初始状态如下图，所标刻度为方便直观理解来假设的，实际上如题目说的是不存在的，不能根据刻度来分水的。要是能根据刻度来分水，那这题就简单极了，8升瓶直接倒出4升给到5升瓶里，8升瓶里剩4升，5升瓶里有4升，题目就解决了。但实际没有刻度，只能通过合理推理来完成。

　　我们先看一下，假设问题解决了，最后能分成2个4升来，这2个4升水是怎么放置在3个瓶子里的呢？是不是只能是8升瓶里放4升、同时5升瓶里放4升？3升瓶里放4升水放不下啊，3升瓶里不装水。最终结果如下图：

　　那如果能弄出4升水，是不是一定就能弄出1升水？是的，很简单，把任何一份4升水倒满3升瓶，那4升水减去3升水就剩下1升水了。反过来想（很重要的反过来想），如果我们能先弄出1升水了，那在1升水的基础上加上3升水（我们有3升的水瓶），是不是就得到了4升水？那怎么能先弄出1升水？这就成为了关键的一步！我们来看5、3两个数字之间的关系，看怎么关联上到1上去？开动脑筋，发散思维：3+3-5=1？把3升瓶装满，倒入5升瓶中，第一次，3升瓶倒空了，再来一次，第二次，5升瓶中只能再装2升就装满了，最后3升瓶中剩1升。这样，1升水就弄出来了。

　　1升水弄出来以后，这时的每个瓶中的装水状态是：

　　然后，把5升瓶倒空到8升瓶中，5升瓶空出来，再把3升瓶中的1升水倒入5升瓶中，再用8升瓶把3升瓶倒满，倒满之后的3升瓶再倒入5升瓶中，5升瓶中就是4升水了，8升瓶中也是4升水了。

　　详细过程图示如下表，大家跟着表一起来从头至尾过一下，带颜色的格子为每一步骤完成时各水平的装水量，三瓶总量和始终为8升：

　　整体来讲，这是已知有3升，想办法整出1升，3+1=4升的思路。

　　题目解完了，我们再来根据表格总结一下：

　　一、整体来看，初始的时候，只有8升瓶中装有8升水，其他5升瓶和3升瓶没水，通过一系列倒水动作，站在8升瓶的角度上看，只看8升瓶的倒入和倒出情况，倒入只有一次，就是5升瓶把自己的5升水全部倒入给8升瓶；倒出一共3次、都是倒给3升瓶把3升瓶倒满。简单算一下：初始8升水，倒入5升水，倒出9升水，剩余=8+5-9=4升水。8升瓶与5升瓶和3升瓶之间的往来倒水，要么是8升瓶把空的3升瓶倒满，要么是满的5升瓶把自己倒空给8升瓶，不存在不满的情况（不满的情况在3升瓶和5升瓶之间存在）。另外，就是8升瓶的水只是专门向3升瓶倒出，没有向5升瓶倒出过。

　　二、3升瓶接到8升瓶的水后，倒向5升瓶，也都是单向的，都是3升瓶倒向5升瓶，没有看到5升瓶倒向3升瓶，和上面的第一条联系考虑，单向倒水会不会也是一种解题规律？3升瓶和5升瓶之间的倒水，存在不满的情况，比如3升瓶中只剩下1升水时倒入空的5升瓶中，反着想一下，不满的情况倒水，是必须存在的，只有存在不满的情况，才能倒出1升水来，否则就没有办法整出1升水来，也就没有办法整出4升水了。3升瓶接受3次3升水一共9升水，但倒出是分4次了，其中有一次3升的倒入是分为二次倒出的，一次倒出2升、另一次倒出1升，弄出这个1升水是解题的关键。

　　三、思考：

　　1、单向倒水这个规律到底成立不成立？大家可以试着8升瓶倒给5升瓶、5升瓶再倒给3升瓶，看能不能解题？

　　参考答案：可以解题，见下图。

　　整体来讲，这是想办法弄出“缺1”的状态，通过5升补上“缺1”剩余4升，5-1=4的思路。

　　2、站在8升瓶的角度上看，初始有8升水，如上图所列示，只从3升瓶中倒入2次各3升水（共6升水），直往5升瓶倒出2次各5升水（共10升水），剩余=8+6-10=4升水。这种倒水动作和上面讲解的就不一样。到此，通过以上两种不同的方法，可知，由于8升瓶与5升瓶和3升瓶之间的往来倒水，要么是8升瓶把空的3升瓶或5升瓶倒满，要么是满的3升瓶或5升瓶把自己倒空给8升瓶，不存在不满的情况，高年级的同学，可以尝试列方程来解题：设从3升瓶从8升瓶倒入或倒出X次（X可正可负但为整数）、设从5升瓶从8升瓶倒入或倒出X次（X可正可负但为整数），那么8-3X-5Y=4，3X+5Y=4，可以求出两组答案：第一组X=3、Y=-1；第一组X=-2、Y=2，正数为从8升瓶中倒出、负数为向8升瓶中倒入，和上面推理结果一致。

　　回到小学一年级，这道题的核心，还是引导小孩学会如何从结果反向推理，找出需要解决的关键问题，然后想办法解决。

　　2020年3月11日

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