2019年高考数学真题，看似复杂，其实就是送分题

　　大家好！本文和大家分享一道2019年高考全国2卷理科数学真题。这道题是全卷的第19题，也就是第3道解答题。题目考查的是等差、等比数列的判定以及数列通项公式的求解等知识。初看之下，题目比较复杂，但是实际上就是一道送分题。

　　先看第一小问：证明{an+bn}是等比数列，{an-bn}是等差数列。

　　等差数列和等比数列的判定，常用的方法有4种：①定义法，即满足a(n+1)-an=d的是等差数列，满足[a(n+1)]/an=q的是等比数列；②通项公式，即满足an=dn+k的是等差数列，满足an=kq^n的是等比数列；③中项法，即满足2an=a(n-1)+a(n+1)的是等差数列，满足(an)^2=a(n-1)·a(n+1)的是等比数列；④前n项和，即满足Sn=An^2+B的是等差数列，满足Sn=k(1-q^n)的是等比数列。不过，在证明的时候，用得最多的还是定义法。

　　回到题目，要证明题干的结论，首先需要构造出an+bn和an-bn的形式。仔细观察题干给出的关系式可以发现，将两个关系式相加就可以得到an+bn的形式，两式相减就可以得到an-bn的形式。经过整理后，可以得到a(n+1)+b(n+1)=(an+bn)/2，有等比数列的定义就得到an+bn是等比数列；a(n+1)-b(n+1)=an-bn+2，根据等差数列的定义可得an-bn为等差数列。

　　再看第二小问：求{an}、{bn}的通项公式。

　　由第一小问的结论可以求出数列{an+bn}、{an-bn}的通项公式，即an+bn=(a1+b1)·(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-1)，an-bn=(a1-b1)+2(n-1)=2n-1，然后两式相加再除以2就得到了an的通项公式，两式相减再除以2就得到了bn的通项公式。

　　做完这道题后就会发现，题目又是等差数列又是等比数列的，看起来难度不小，但是仔细读题后就会发现其实解答起来非常简单。

　　其实，近几年高考中关于数列的题目的难度一般都不大，特别是已经很少考到数列与放缩法的综合题了。不过，2022年高考中又出现了数列与放缩法的题目，虽然只是很简单的放缩，但也许是一种趋势，高中学生要引起重视。

　　这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？

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