一道旋转和动点问题等结合的中考数学真题

　　如图, 坐标平面内, O为坐标原点, 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1,0), B(2,0), 与y轴交于点D, 已知tan∠DAO=4.

　　(1)求D坐标及抛物线的解析式；

　　(2)将△OAD绕平面内某点顺时针旋转90后使△OAD的两个顶点落在抛物线上, 求旋转后O点的对应点的横坐标；

　　(3)在BD上方的抛物线上找一点P, 使∠PDB=2∠ODA, 求P点横坐标.

　　解：(1)∵tan∠DAO=OD/OA=4, （正切的定义）

　　∴OD=4OA=4.

　　c=4, D(0,4).

　　c/a=-2, a=-2;-b/a=1, b= 2;

　　(一元二次方程根与系数的关系)

　　抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4

　　(2)记旋转后对应三角形为△O’A’D’, 设O’的横坐标为z,

　　若A’, D’落在抛物线上,可记A’(m, -2m2+2m+4), D’(n, -2n2+2n+4),

　　则n-m=4,

　　(-2m2+2m+4)-(-2n2+2n+4)=1,

　　解得：m=-23/16,

　　则：z=m=-23/16,

　　若O’, D’落在抛物线上,则

　　n-z=4, n+z=1,

　　解得z= -3/2,

　　∴O点的对应点的横坐标为-23/16或-3/2.

　　(3)设P点的横坐标为p, 作∠BDE=2∠ODA, 使DE=BD,

　　且DE交抛物线于P,

　　AD=√17, OA=1, DE=BD=2√5,

　　过D作BE的垂线段DC，则△AOD∽△BCD

　　BC=OA·BD/AD=2√5/√17,

　　BE= 4√5/√17,

　　设E(x, y), 则(x-2)2+y2= 80/17, x2+(4-y)2= 20,

　　舍去不合理的值，解得：x=62/17, y=24/17,

　　lDE: y=-22x/31+4

　　当-2x2+2x+4=-22x/31+4, 即-2x2+84x/31=0

　　∴p=42/31.

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