初中数学培优 七年级下 第十九讲 初中数学答题技巧之特殊值法

　　中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

　　我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。

　　本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。

　　系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。

　　系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

　　第十九讲 初中数学答题技巧之特殊值法（格式问题可以看图片）

　　一、知识框图

　　二、重点难点分析

　　首先，不要认为一些答题技巧是旁门左道。学生学习的不仅仅是知识，更重要的解决问题的能力。解决问题的能力不仅仅是知识，还有技巧。从智慧的角度看，技巧更高于知识。因为技巧会让你解决一些你以前没有学过、经历过难题，但是知识只能解决见过的问题。

　　答题技巧有很多：特殊值法、作图法、极限思想法（和特殊值法比较相似）、排除法（筛选法）、代入法等等。

　　这个讲座先讲最常用的特殊值法。

　　特殊值法充分地体现了“矛盾的普遍性和特殊性”的哲学真谛：特殊是普遍中的特殊，因此必定符合普遍原理。

　　特殊值又叫特值法，即通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法。若问题的选择对象是针对一般情况给出的，则可选择合适的特殊数、特殊点、特殊数列、特殊图形等对结论加以检验，从而做出正确判断．对于有情况讨论的题目，可以代入相应的特殊值，结合排除法进行。

　　这个特殊值必须满足三个条件：

　　首先，无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；

　　其次，这个量应该要跟最终结果所要求的量有相对紧密的联系；

　　最后，这个量在整个题干中给出的等量关系是一个不可或缺的量。

　　特殊值法不仅仅可以解答填空题和选择题，而且在简答题、尤其是开放性简答题也有着重要的作用。

　　在前面的章节讲解过程中，许多题目我都是提及特殊值法的，但是作为讲解题目，因此都是一笔带过。

　　三、例题精选

　　例1若m、n为正数，p、q是负数，那么下面代数式中值最大的是（）

　　A.m-(n+p-q) B.m+(n-p-q)

　　C.m-(n-p+q) D.m+(n+p-q)

　　解析：取特殊值：m=5,n=3 p=-1,q=-2;把四个值代入ABCD四个选项。

　　答案：B

　　例2已知 ,那么

　　A.

　　解析：令b=5，a=13，答案D。

　　比用b=代入答题快多了。

　　例3 若0则x-1、x、x2的大小关系为（）A. x-1xx2 B. x-1x2x C. X2xx-1 D. X2x-1x

　　解答：令x=0.5即可

　　答案：C。

　　例4已知mn<0,且1-m>1-n>0>m+n+1，那么m、n、、n+的大小关系（用<表示）

　　。

　　解答：mn<0,∴一正一负；

　　∵1-m>1-n，∴n正m负；

　　∵1-m>1-n>0，∴0<n<1,m<0

　　∵0>m+n+1,∴m<-1-n

　　取m=-2，n=0.5,代入、n+=0，

　　∴m< n+<

　　例5 正实数a、b、c、d满足a+b+c+d=1,设p=，那么p的值（）

　　A.大于5 B.等于5 C.小于5 D.p和5的大小关系不确定

　　解答：设a=b=c=d=0.25，那么p=4>4=4*1.3=5.2

　　那么B、C肯定排除了。

　　因为有D这个选项，我们再取两组数，发现三组特值都是p>5,那么选A。

　　用正规方法：由题意a2<a∴1+a2<1+a∴1+2a+a2<1+3a,即>1+a；

　　同理得其他三个式子，∴p>4+（a+b+c+d）=5.

　　用到了不等式的缩放，属于高中难度的题目了。

　　例6 一个人从家到公司，当他走到路程一半的时候，速度下降了10％，问：他走完全程所用时间的前半段和后半段所走的路程比是。

　　解答：设路程为2km，开始速度为1km/h,那么后半段路的速度就是0.9km/h

　　总共用了时间h，前半段时间走的路：1+（）=1.05km，后半段时间走的路：2-1.05=0.95km，两者相比就是21:19.

　　例7 一项工程计划用20天完成，实际只用了16天就完成了，则工作效率提高的百分率是（）。

　　解答：设原计划每天完成一件，总共干20天完成，就是20件。现在16天完成，就是每天完成1.25件，所以提高25%。

　　这样就可以省去分数计算，速度提高。

　　例8问题探索:

　　(1)已知一个正分数，（m>n>0）若分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小?请证明你的结论;

　　(2)若正分数，（m>n>0）中分子和分母同时增加2,3,...,k(整数《>0),情况如何?

　　(3)请你用上面的结论解释下面的问题:

　　建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏?请说明理由。

　　解答：

　　本题摘自本系列《七年级下 第十讲 分式》，属于开放性题目：结论需考生自己先判断出来。那么这个猜想从哪里来呢？我们认识世界一个重要思想就是从特殊到一般，具体到解题过程中就是用特殊值法找到猜想，然后在一般情况下予以证明。

　　目前中考中的开放性题目本意如此，但是有点过分地刻意地强调这点，导致简单一点题目很容易求解，难的题目考生连结论都无法猜出来。

　　由题意，设m=2，n=1，则,那么我们就可以得出猜想，进行证明。

　　解答过程略。

　　例9：D、E分别是等边三角形ABC两边AB、AC上的点，且AD=CE，求∠BFC的度数。

　　解析：

　　先用特殊值：由题意，假设D、E都是中点（和题设条件没有矛盾），那么∠BFC=∠BEC+∠ACD=90°+30°=120°。

　　再由特殊到一般：∠BFC=∠BEC+∠ACD=∠A+∠EBA+∠ACD=60°+∠EBA+∠ACD=120°；

　　而∠ACD+∠DCB=60°，所以只需证明：∠EBA=∠DCB；由题意SAS可以证明△AEB△BDC，答案就求出来了。

　　四、练一练

　　这是个答题技巧，因此不再另外加习题了。

　　

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