初中数学压轴题精讲4：活用“复制+粘贴”，巧解初一几何动态题

　　欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，几何动态题，是初中几何中最常见也是难度最大的压轴题型，不管是对于初一、初二或初三的学生，它在试卷上的出现，意味着至少一半以上的学生都得“望洋兴叹”，特别是对于几何处于起步阶段的初一学生，更是“望而却步”，其实，这是没有掌握几何动态题的题目特点及解题规律造成了，今天，我们以一例的详解，通俗易懂的来说一说，解决这一类题型的一个很实用的解题技巧：“复制+粘贴+略作修改”。

　　例.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α.（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决以下两个问题：

　　①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE___CF；EF____|BE-AF|（填>、<或=）；

　　②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍成立，并证明；

　　（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请证明EF、BE、AF三条线段的数量关系。

　　【思路分析】

　　此题涉及到一个数学典型模型“一线三等角”模型，（1）、（3）小题中，在直线CD上，出现了三个等角：∠BEC=∠CFA=∠BCA，所以先证△BCE≌△CAF，再利用全等性质即可求证结论；第（2）小题，只不过是自己添加一个条件，使直线CD上出现三个等角，构造出“一线三等角”模型，为证明△BCE≌△CAF提供判定条件。所以就此题的解题顺序是：先解决（1）的第①小题和第（3）小题，这样对“一线三等角模型”的运用过程就更明了更熟悉，进而为解决第②小题的“构造一线三等角模型”提供更清晰的思路导向。

　　【解题过程】

　　（1）

　　（3）

　　（1）②【思路分析】

　　要想使①的结论成立且证明，必须先证△BCE≌△CAF，题目已知全等需要的两个条件：∠BEC=∠CFA，BC=AC，由上面的步骤可知：添加的条件，必须能用等量代换的方式推导出∠1=∠3；我们可以参照（1）①的步骤，进行“倒推”证明过程：∠1+∠2=∠BCA，∠2+∠3=180°-∠BEC，要想使∠1+∠2=∠2+∠3得到∠1=∠3，必须使∠BCA=180°-∠BEC，所以添加的条件应该是：∠BCA=180°-∠BEC，即∠BCA+∠α=180°.

　　【解题过程】

　　当∠BCA+∠α=180°时，①中的结论仍成立，理由是：

　　【点评】

　　仔细观察以上三个小题的解题步骤过程，你会惊奇地发现：太相似了！除了个别步骤有不同外，几乎是“复制+粘贴”，我们详细分析下到底有多少个“复制+粘贴”。

　　①解题步骤几乎相同，

　　②推导过程中的判定理由及所涉及到的知识点几乎相同：都是用等量代换证明角相等、都是运用AAS证全等、都是利用全等性质“边相等”解题；

　　③解题思路过程几乎相同：都是先证△BCE≌△CAF，再利用全等性质解题；

　　④细节上，连∠1、∠2、∠3所表示的角都是完全相同；

　　解题步骤上的“复制+粘贴”，意味着思路分析过程上的“复制+粘贴”，这是解决初中几何动态题目一个最大且最实用的解题技巧。它不是源自于巧合，而是源自于这类题的题型特点：图动但题目主干条件不变或大致不变，既然题目的重要条件都没做过多变化，它的分析思路及解题过程，又能有多大变化？

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