顾沛：数学之美，我讲给你听

南开大学数学科学学院教授顾沛受访者供图

“我叫顾沛，今年72岁，已经教了43年的数学。”“数学，使一些人垂头丧气，又让一些人如醉如痴。”在很多场合，南开大学数学教授顾沛的开场白，像他往常在数学文化课上要求学生用数学语言表述一样，“要做到准确、严谨、规范、完整、简洁”。

他顶着一连串“国”字头荣誉：首届国家级教学名师奖获得者，历任教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会副主任、国家基础教育课程教材专家工作委员会委员，曾获国家级教学成果一等奖一项、二等奖三项，是两项“全国五一劳动奖状”的带头人，也是首批“国家级教学团队”的带头人……

他开设高等代数、抽象代数、数学文化、大学文科数学4门本科生课程——每门都被评为国家精品课程。其中，数学文化课程还被评为首批国家精品视频公开课程。

前不久，顾沛为“国培计划”——专职培训团队研修项目天津师范大学数学班学员作了题为“把教学当作一门艺术”的专题报告。近两个小时的报告中，全场气氛轻松热烈、互动频繁。“近距离地接触顾老师，更感觉到师者的伟大，才真正认识到数学思维是多么的重要，数学语言是多么的严谨而富有美感！”学员董金茂说。

数学文化之核心：数学之美

顾沛认为，数学的魅力是需要感悟的。学习数学，将帮助一个人提高思维品质。“在数学学习中，不仅要学会数学知识，更要体会数学知识中蕴含的数学文化。要掌握数学观点，理解数学思维，学会数学方法，了解数学思想，提高数学素养，逐步学会感悟数学之美。”

“数学文化课是一门文理交融的课程。从狭义上讲，‘数学文化’是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；从广义上讲，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系，等等。”顾沛说。

在数学文化课上，顾沛常常信手拈来，用一些浅显易懂的例子说明抽象而深刻的数学道理。比如，“一一对应”中的数学美，学生不易理解。于是，他设计了“大足石刻千手观音”的情境，通过从感性到理性的讲解，让学生悟出其中的数学美。

“重庆附近有个大足石刻。其中一个是千手观音。千手观音，到底有多少只手呢？往往你第一次数和第二次数的结果是不一样的，因为千手观音的手太多了，太乱了，你可能重复地数了一只手，也可能漏数了一只手。”顾沛举了一位明朝工匠的例子。工匠找来2000张金箔，一张一张地往观音的手上贴，既不会漏掉一只手，也不会重复地贴一只手；这样，贴上的金箔和观音的手指就产生了一一对应的关系。再数剩下的金箔，算出贴上的金箔数，最后的数字是1007，这就是千手观音手的数目。

顾沛的讲座中，这样的例子不胜枚举。他用“韩信点兵”的故事讲解剩余定理，让学生看到中国古代的数学成就；用“有无限个房间的旅馆”客满后仍然能安排新来的客人，解释无限与有限的根本区别，让学生感悟“无限”中的数学美；用“10秒钟计数”的游戏，逐步引出斐波那契数列与黄金分割；还以“抓堆”游戏引出“解决关于自然数的问题”的四点规律，让学生感悟其中的数学之美……

尽管已年逾古稀，但顾沛对传播“数学之美”的事业一刻也没有停歇。不久前，在为天津市南开中学学生作“英才计划”校园宣讲时，他开门见山地说，当今社会十分重视人才的数学素养，一些企业招聘考试、高校的自主招生考试，往往也与数学素养相关。“在这些数学素养中，蕴含并体现着丰富的数学之美，就看我们能不能理解它、掌握它，就看我们有没有数学审美的观点和思想，就看我们能不能透过现象看本质，感悟到数学之美。”

“这些年，不时有人问我，学了13年的数学，定理、公式，生活中用不上，工作中也从来没用过，为什么高等数学还要设为必修课，连文科生也不例外？到底数学的价值何在？今天来到这里，就想协助澄清这个误解，让大家对数学不再畏惧。”2015年8月，顾沛还赶了一回“时髦”，他受邀参加山东卫视真人秀节目《我是先生》，在电视节目中讲授数学文化。

节目中，顾沛以转盘摸彩的游戏为例，深入浅出地讲解了如何以“心中有数”“简化和量化”“逻辑推理”为基础，用数学解决实际问题的方法，巧妙地解读了数学文化课的特色和亮点。节目结束时，全场观众对顾沛和他的数学文化课报以热烈的掌声。

“数学文化课程着重于传授数学思想，其精髓是数学知识与科学精神的有机融合，是科学素质教育与人文素质教育的有机融合。”十多年来，顾沛和他的同事们不遗余力地推广着这一理念。对于这群数学教师来说，“数学文化”早已不仅是一门普通的课程，而是值得为之付出一生的事业。

数学文化之传播：课堂艺术

近年来，包括清华、北大在内的180余所高校、60余所中小学都曾邀请顾沛作数学文化报告。全国性的各种教改会议，特邀他作数学文化课程方面的报告，达20余次。

顾沛热爱三尺讲台。很多学生说：“顾先生站在那，已是一道风景。”每次他说“下课”时，学生们都会全体鼓掌，向他表示敬意。

每次上课，他都十分重视与学生的互动交流。他有个口头禅：“大家可以交头接耳地讨论，一分钟后举手回答。”“在这一分钟内，有时是没有学生举手的。但不要认为这一分钟是无用功，其实学生正在头脑内展开激烈的思考，实际上每分钟都是教书育人。”顾沛说。

每到学期末，顾沛的“半开卷考试”更是让学生领略了他的教学艺术之美。半开卷考试与开卷考试的区别，在于允许考生携带指定的资料进入考场。虽然指定可携带资料，但他仍和学生“约法三章”：一是不能携带书和笔记本进考场，只能带一张A4大小的纸；二是纸的正反两面可事先写上内容，但不许打印，不许复印，只能手写；三是字的颜色只能以蓝色为主，因为“复印机是印不出来蓝色字迹的”。之所以约法三章，是因为在顾沛看来，“数学文化课主要考查学生的能力，考查学生对数学文化的理解”。

多年来，数学文化课的选课十分火爆，每次都因人数过多需要计算机筛选。有的学生连选三个学期均未选上此课，不得已向教务处老师求情，争取不通过计算机选课而通过手选上课。

有一名学生记录了上数学文化课的多个“第一次”：“第一次用美学的眼光来看待数学；第一次了解到数学在各个领域所发挥的重要作用；第一次走进数学史的长河，去追随数学家的足迹；第一次体会到数学中浓郁的人文主义精神；第一次知道曾深刻影响人类社会发展进程的3次数学危机……数学文化课向我展示了数学极富魅力的一面，不是以往数学课上的定理、公式、计算和题海，而是数学的思想、精神和方法。”

从南到北、从春到冬，数学文化课还经常会赢得校外追随者的掌声。2013年冬天，深圳职业技术学院的几位干部、教师特意来南开大学就数学文化课“取经”。那天，顾沛讲的是“类比的思想”。他精彩而富有激情的讲解、严谨缜密的推理、融洽的师生互动，让大家不禁叹服，“顾老师的课让人如沐春风，听后意犹未尽”。青年教师刘志勇说：“当老师就应该如顾老师这样充满热情，热爱教学，全情投入。”

回校以后，为了让更多师生了解数学文化、认识数学文化，深圳职业技术学院又于2014年邀请顾沛到校进行讲座，向全校师生推广和普及数学文化。同年，他们也在全校开设了数学文化通识课程，并于2017年在商务印书馆出版了一部高职类的数学文化教材。如今，当年的青年教师刘志勇已成为该校数学文化课的领头人。

谈及从教40余年的感悟，顾沛深有体会：“一个教师如果既把教学当作职业去恪守，又把教学当作事业去热爱，还把教学当作科学和艺术去追求，那么，境界高了，教学效果也一定会更好。”

数学文化之灵魂：素养教育

师者，所以传道授业解惑也。在顾沛看来，“传道”是第一位的，只知道授业解惑的老师，充其量是经师。古人说“经师易得，人师难求”，好教师不能仅仅是句读之师，更要是人师。

顾沛特别关心学生，特别是那些遇到困难的学生。1989级数学试点班学生孙文昌在读大学时差几分没考过英语四级，按规定不能正常毕业。一连几天，顾沛跑到教务处“求情”：“文昌是个学数学的苗子！”一番努力之下，学校破格允许他免试留校读研，条件是下一年考过英语四级。

后来，孙文昌顺利完成博士阶段的学习，之后在陈省身数学研究所从事博士后研究，并获中国博士后科学基金一等资助金。

博士后出站后，孙文昌留校任教，于2002年晋升教授，先后获微软青年教授奖、天津市青年科技奖、天津市自然科学一等奖、国务院政府特殊津贴和国家杰出青年科学基金。“如果没有顾老师的关心，我肯定不会有今天的成绩。特别感谢顾老师给我不一样的人生。”孙文昌说。

从2015年秋季开始，南开大学“数学文化”公共选修课以“慕课”的形式开展线上、线下相结合的教学。线上，学生自主安排时间在“中国大学MOOC”平台学习，观看顾沛的《数学文化十讲》教学视频，完成课堂作业、参与在线讨论；线下，学生按照课表在教室上见面课，师生互动、加深、拓展线上学习内容，完成课堂练习。

最近的一次数学文化课上，学生邹文俊就在演讲中当了一次“先生”。在与顾沛讨论几次后，一个颇具吸引力的演讲题目出炉：围棋棋盘为什么有十九路？通过查阅史料，邹文俊发现最初的围棋棋盘并不是十九路的，“这就说明当今围棋棋盘是十九路必有它的合理性”，循着这样的思路，邹文俊展开了进一步研究。

试讲时，顾沛帮他反复修改提纲，并提出很多中肯的意见。“演讲者要站在听众的角度，让听众更容易理解”“做课件时，背景与字体颜色的反差要明显，要用不同颜色的字体突出重点”，这些话像烙印一样，深深地印在邹文俊的脑海中。

实际上，虽然上台演讲只有十几分钟，但演讲前的试讲交流，顾沛和学生往往至少要花费一个半小时。“怎么突出重点，怎么浅显易懂，怎么让更多的学生受益、学有收获，这些都要具体指导。”顾沛说。

令邹文俊印象更深的是，试讲时，顾沛还针对演讲中“所占目数”“目效率”等许多专用名词的定义与解释和他讨论了很久，还建议他在演讲中加入一些提问与互动过程，并且对课件中的一些概念、定义等作好备注，使用一些图解说明，让听众感觉通俗易懂、深入浅出。

当演讲正式开始，邹文俊由围棋的历史引入，并学着顾沛的样子：“给大家一分钟思考：为什么围棋棋盘是十九路的……”正因为准备充分，邹文俊的演讲十分从容、成功。

“有句话叫‘灌满这桶水’，还有句话是‘点燃这把火’。”顾沛这样总结自己的“育人经”，“前者说的是知识的传授，后者说的是育人，引起学生学习的兴趣，让他们能够全面学习、可持续地学习、终身学习，在学习中学会学习。”

“数学文化课的主要目的是改善学生思维品质，提高学生数学素养。而且，好教师要做学生学习的设计者、引导者、启发者、指导者、合作者，成为学生学习的伙伴。”顾沛是这样说的，更是这样做的。