力荐2023重量级好书《数学好的人是如何思考的》，值得一读再读！

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　　-----精选段落-----

　　第7章技能7——从局部看整体

　　62 74 80 91 58 72 72 86 69 88

　　首先按照大小顺序进行排列：

　　58 62 69 72 72 74 80 86 88 91

　　接着，做个频数分布表。该例题中的最低分是58分，最高分是91分，所以可设定从55分起每次增加10分。

　　首先是平均值。通过原始数据求得的平均值如下：

　　由此可见，原始数据的平均值是75.2分。接下来，通过频数分布表求解。

　　由此求得的平均值为75分。

　　其次是中间值。数据个数为偶数时，取中间2个的平均值。这里是取第5个和第6个的平均值。

　　因此，原始数据的中间值是73分。接下来，通过频数分布表求解，由于第5个和第6个的数据都是属于组段值70组段，所以中间值是70分。

　　最后是求众数的值。

　　原始数据中的72分有2个，

　　原始数据的众数=72

　　因此，原始数据的众数为72分。

　　而频数分布表中，组段值70的频数最多，

　　频数分布表的众数=70

　　因此，频数分布表的众数为70分。

　　把A同学的测试结果画成柱状图和折线图，如下图所示。

　　平均值和中间值看似相似，其实不然，特别是如果原始数据非常凌乱，平均值和中间值的差别会很大。如果遇到这类数据，就无法单从平均值中看穿数据的特性，这时候就要参考中间值。

　　以日本人的平均年收入为例，下图为厚生劳动省发表的2011年户年收入与户数的分布状况（柱状图）。

　　该省户平均收入是538万日元，但从柱状图中可明显看出，一部分高收入家庭拉升了平均值。实际上，低于平均收入的家庭占61.2%，中间值为427万日元，比平均值低了111万日元（约20%）。因此，如果单从平均值来推测整体情况，很容易出现失误。

　　初中阶段的数学描述统计就学到这里吧。

　　追求更好的“代表”（超出初中数学范围）

　　如果代表值不够全面或者不具备代表性，就会让人觉得心里没底。

　　请看下面的表格：

　　A公司和B公司都是公交公司，表格中的数值表示的是时刻表的误差（分钟）。乍看之下，A公司更加守时。如果看到这些数据就下结论，为时过早，我们来看看表格中数据的平均值吧。

　　综上所述，两者的误差平均值都为0分钟。

　　由此可见，平均值没有表现出数据的性质，原因在于，数据中存在负值，相互抵消后，就掩盖住误差的本质了。因此，为了统计误差，遇到负值时，要先自乘再取平均值。

　　这就是“方差”。

　　A公司是1.6分钟，B公司是15分钟，这差别就很大了。而光看表格，看不出误差竟如此之大。

　　数据通过自乘所得到的值会放大，如此一来，计算方差的“差”就失去了意义。为了更贴合实际情况，就要在方差上加上根号。

　　A公司约1.26分钟，B公司约3.87分钟，可以说标准差“代表”的是各公司公车运行的守时状况。

　　什么是偏差值（超出初中数学范围）

　　在上面的例子中，我们从时刻表的误差中提取了方差和标准差。一般来说，方差和标准差的作用是弥补数据平均值的误差。即，

　　标准差弥补了平均值的不足，也就是说，标准差表现了数据的分布状况。比如，计算某个班级测试结果的标准差，就能了解全班同学的成绩分布状况。如果标准差小，就表示同学们的成绩都集中在平均值附近，而测量成绩“特殊”程度的指标，就是所谓的“偏差值”。

　　偏差值的平均点数通常设为50，在此基础上每偏差一个数值，标准差就会有±10的变化。计算公式如下，

　　此外，通常情况下，数据集（也被称为正态分布）的所有数据中，约7成的数据有一个点的标准偏差。

　　这部分内容就讲到这里啦，如果你想掌握更多相关知识，就在日后慢慢学习积累吧。

　　概率（初中2年级）

　　人类的直觉不可靠

　　人类的直觉是不可靠的，特别是在概率这方面，我们的感觉往往与数学的真理背道而驰。还是举几个例子吧。

　　（ⅰ）在一个40人左右的小规模派对上，如果有2个人是同一天生日，一定是一种特别的缘分。

　　（ⅱ）购买彩票时，“123456”和“111111”这类数字是不会中奖的。

　　（ⅲ）排在后面抽签，中奖几率大。

　　（ⅳ）进行一项准确率为99%的检查，被诊断出得了1万人中只有1人才会得的不治之症，这个病人只好写遗嘱了……

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