压轴题研题活动第90场2022年宿迁第27题

　　

　　精彩点评一

　　无刻度直尺作图—要直观想象，更要理性思考

　　聆听了点军天问书院初中周小倩老师在第90讲中所研的2022年江苏省宿迁中考数学第27题，收获颇丰.本题是一道综合实践活动题，通过学生的观察、计算、分析、推理、试验等活动形式，重点考查几何直观、推理意识、推理能力等核心能力．此题思维的容量大，每个小问题都可以从不同的角度进行思考，解题的入口非常宽，突出对学生数学思维开放性、创新意识的考查。

　　操作探究阶段，周老师给出了利用网格作垂线的基本思路，其实质是根据“格线等分原理”，通过构造全等三角形、三角函数，建平面直角坐标系，矩形大法实现了线段的构造.在反思阶段，周老师借鉴尺规作图的处理思路，对格点做图进行探讨。 从线段和角度的视角：格点作图能画出水平或竖直方向任意有理线段，能画出任意有理角。从图形三大变换的视角：平移，格点作图可以对任意点进行水平或竖直方向任意有理长度的平移；对称，格点作图可以对任意点进行关于任意有理直线的对称操作；旋转，格点做图可以对任意点实行特殊角度的旋转。探索过程中不满足于结果，而要去探究问题解决的通法，做一题而会一类；追求最优方法，享受成功的乐趣

　　拓展应用阶段，当目标点不在格点处，如何借助格点实现转化。周老师抓住尺规作图的核心原理：利用圆的相关定理和等腰三角形的相关定理来构造平行、垂直、等腰，实现线段位置的转换，从而达到题干的要求。在上述探究中作出了√2、√5、√10、√13、2√5、√26、2√10和5√2这样的格点线段。由于作图工具（不能使用圆规）的限制，格点作图不能实现尺规作图的一些功能（比如，作任意角的角平分线），所以在思路上容易受到阻碍。周老师按照图如果可作，该如何操作？如果不可作，那原因是什么呢？操作完成后，通法是什么呢？通法总结完成后，最简画线的方式是什么呢为思维线索总结了网格作图题的解题模式，首先，可以通过弱化条件，克服画图工具的束缚，以退为进，聚焦问题核心；其次，展开联想，将问题与所学基本作图知识进行联系，结合基本图形，转化探究方向；最后，根据联想，由不同的基本图形得到不同的作图思路和作图方法。通过聆听周老师的解题思路，我进一步认识到教学中应重视培养学生动手动脑、手脑协同，培育良好的作图素养，同时重视引导学生通过知识间的联系，探求解题思路，发展推理能力

　　值得一提的是，这里的作图原理正是几何画板等作图软件的作图策略，由此可以看出作图切切实实是真本领，只有完全搞明白了题目本身的前后逻辑、因果关系后，才有可能精确作图，在平时的学习与解题中，重视作图能力并有意识地进行自我培养与训练！“一个图形是确定的，问题必然是可解的”，当你会精确作图了，这个问题基本也就能解决了！

　　感谢周老师带来的精彩研题，感谢钦张博士提供的学习交流平台,让我在学习与交流中不断成长和提升！

　　精彩点评二

　　中考数学格点作图的思考

　　格点作图问题作为中考的新宠儿，自从登上中考试卷之后，迅速的在初中各年级考试当中铺开，并且难度有逐年加大的趋势. 今天有幸听取了周老师对2022年江苏省宿迁市中考数学第27题的研题讲解,我对此类题型的认识又上了一个新台阶,下面将我的收获分享如下.

　　此题第一问是”过一点作已知线段的垂线”,周老师从”三角函数求值”,”构造全等三角形”,”建立平面直角坐标系”,”构造矩形块”等四个方面给出了解题的方法.全面而具体,可操作性强.

　　第二问是”作两端相等的弧”,周老师亦从”垂径定理”,”作PM=AM”,”作∠MOP=∠AOM”,”作∠MBP=∠ABM”等四个方面进行了讲解.

　　第三问”AM2=AP×AB”,最容易想到的是相似,周老师依然给大家提供了多种解法,将三角形相似,圆的相关知识,平行线等知识进行了融合.

　　给我印象最深的是周老的教学反思,全面而具体,令人佩服.周老师在反思阶段共提炼出了格点问题中可能出现的7种构图方式:1.作平行线.2.作垂线3.中线类4.作垂直平分线5,旋转6,作角平分线7,作45°角等.并对每种作图进行了深入的分析与思考,并且提供了多种解法.给我们的教学提供了很好的素材和范例,值得我们学习.

　　其实格点作图离不开”三大变换”,从三大变换的视角出发,我们发现其归根结底就是:

　　1平移：格点作图可以对任意点进行水平竖直任意的平移

　　2对称：格点作图可以对任意点进行关于任意直线的对称操作

　　3旋转：格点做图可以对任意点进行任意角的旋转操作

　　另外,周老师如果在反思环节如果能对”格点作图”和”五大基本作图”进行对比讲解,理清两者之间的区别与联系,则整个研题将更加完美!

　　精彩点评三

　　认真学习了周老师关于2022年江苏宿迁中考数学第27题的研题，感触颇深。该题乍看是一道方格纸中的作图问题，对于宜昌的学生来说会认为非常简单，但是真正去研究会发现，该作图要求学生只用无刻度的直尺作图，对于习惯尺规作图的考生而言，加大了难度，有种无从下手的感觉。经过周老师的层层分析，我们会发现这种作图既不同于尺规作图的既定套路，也不同于方格纸中数格子或者坐标找点的基本考察，而是对初中数学几何知识的综合考察，需要学生能够将几何证明应用在方格纸的画图中，从而只需要一把直尺做出尺规作图的效果，作图痕迹更简洁。

　　该题问题设置坡度较为明显，操作探究部分给出图形，证明垂直。周老师通过”三角函数”、“全等”、构建平面直角坐标系利用直线的斜率乘积为-1，以及举行的旋转四种方法分别进行证明，拓宽了学生的证明思路，同时为拓展应用奠定了基础。

　　在拓展探究中周老师的做法让我学到了很多：

　　1、在拓展研究第一问中，为了在弧上找到一点P使两弧相等，周老师应用垂径定理、等弦对等弧、等圆周角、等圆心角等，从不同的角度出发，借助圆的定理通过不同的角度，做出符合要求的图形。在这一问中，学生容易被常规尺规作图所限定，想到圆规的截取作用，但是该题只有无刻度直尺，只能实现连接功能。因此怎样找到合适的节点通过连线实现圆规的功能就是学生突破该题的核心。因此将弧等转化为垂径定理，就可以参照第一问的做法，依葫芦画瓢很快解决。而转化为等圆周角和等圆心角，找已知线段的平行线相对来说对学生要求较低，因为在网格中，得到平行可以通过平移获得，更轻松，寻找点的个数相对较少，可以减少思维量。

　　2、而探究的第二问是找一点满足线段之间的关系：AM2=AP·AB，让我耳目一新的是周老师找到题目中的点的特殊位置，通过计算AP的长度发现长度为对角线的一半，通过连接网格对角线一步找到目标点P，第一问的方法再次得到使用。第二种相似的方法是证明几何题目时的常用方法，因此，也会是学生的首选方法。在证明的倒推过程中，转化为截取一个角等于已知角，和探索的第一问的方法相结合。

　　3、周老师最后给我们总结出网格中作平行线、作垂线、作中线、作垂直平分线、作对称点、作旋转、作角平分线、作45°角的方法，对于我们教学有很强的指导作用。

　　通过周老师的研题，我们发现初中的尺规作图作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角平分线，作线段的垂直平分线，经过一点作已知直线的垂线都可以在网格中实现。作为教师，我们要思考怎样将这些方法在教学中融入课堂，让学生将图形的基本转换和网格图形实现融合，真正实现学生读懂题目信息，抓住关键点，能够以点代面，统筹应用相似三角形、全等三角形、三角函数、圆的知识解决问题，从而提高自己的推理能力和作图能力，使数形结合、几何直观、空间观念和转化思想得到融合。

　　精彩点评四

　　由于周二有晚自习，只能抽白天课余时间来学习周老师的研题了！说起来和周老师渊源很深，我们来自于同一个故乡—黄冈，也都是点军天问书院的数学老师，更是与周老师的老公樊启坡老师师出同门！短短的几年，周老师从刚踏上讲台的紧张焦虑，一步步成长到现在宜昌市市级研题活动中的从容不迫、对知识和方法的信手拈来、分析问题的缜密思维，成长得真是特别快！

　　2022年江苏省宿迁市中考第27题，是以网格作图题呈现，是最近几年各个地区考试的热门题型，对学生综合运用所学数学知识和思想方法的能力考查得淋漓尽致。对初中生来讲，能看懂图形并且将图形语言准确的转化为数学符号语言就很厉害了，在这之上能够在原有图形的基础上适当添加辅助线解决问题的学生就难能可贵了，而网格作图相当于创造图形的能力，对学生灵活运用数学知识和思想方法的能力要求就更高了。周老师能够选择这类题型来研究，足见其功底深厚。网格本身具有的几何特征和数量特征，为学生提供了多角度探究问题的空间，解题的关键是读懂题目信息，抓住关键点，以点代面，牵一发而动全局，从思想方法上，考查了数形结合、转化与化归等思想。总之，知识储备、方法积累、思维沉淀、创新意识是解决问题的关键。

　　周老师在对这道题研究的过程中，既体现了方法的多样性，又适当的总结归纳，为我们在平时教学中做了很好的示范效应，我们在教学生的过程中不能满足于仅仅只是把问题解决为止，还要引导学生从不同的角度尽量探索不同的方法，对不同的方法进行研究以后，还要学会归纳总结，当然在这个过程中尽量以引导为主，不要过多干涉学生的思维，学生实在想不到的方法，宁可暂时不讲，后面再寻找适当的时机再跟学生探讨。从周老师的研题看得出来，她平时的教学肯定是非常严谨扎实的，这从她所带的两个班级的数学成绩一直稳居年级前列可以印证！

　　在教学反思环节，周老师从把握内在关联，注重知识融合；立足通解常法，探寻优解巧法；提升画图能力，强化数形结合三个方面来阐述了自己研题的心得，这也是网格作图的关键。从平时教学的角度来看，周老师的研题反思很值得我们借鉴。当然，网格作图对学生能力的要求相当高，我们不能仅仅照搬周老师总结的经验，我们需要结合自己所带学生的实际情况，对老师的研题进一步消化后，结合平时所教的知识点慢慢渗透在自己的教学中，让学生逐步消化，以知识网和思想方法为载体服务于我们的教学，从而达到提高学生核心素养的目的！

　　再次感谢周小倩老师为这次研题的辛苦付出，同时感谢张钦博士为我们老师搭建的研题平台，为我们谋取了这么好的专业福利和精神福利！

　　精彩点评五

　　周二晚上聆听了周老师对江苏省2022年宿迁市中考数学第27题的研题，周老师全面细致的讲解和提炼给我上了一堂生动的数学课，让我这个初次接触格点作图问题的学习者收获良多。

　　一、格点问题之妙。

　　课程标准中要求数学课程要特别注重发展学生的应用意识与创新意识，“格点问题”综合了勾股定理、图形变换、三角函数、相似等重要知识，融合了数形结合、几何直观，考查学生对图形的观察能力与对数学规律的探究能力。它呈现简洁、便于作图、形式新颖、解法多样、灵活性强，需要学生在在解题中准确识图、理性思考、动手操作，把数学知识与思想方法有效整合，趣味性浓，利于提升学生研究和学习数学的兴趣。

　　二、格点问题之解。

　　网格背景下研究平面图形，一方面，保留了图形自身的几何特性，但由于是将图形放在了网格中，因此网格自身的位置及数量特性赋予了图形一些特殊关系，进而使图形的一般几何性质，得以特殊化、数量化；另一方面，网格又具有坐标的特性，可以根据图形特点及运算需要，在网格中任意建立坐标系。周老师紧扣问题核心，在操作探究中就给出了三角函数求值、建立平面直角坐标系等四种方法，可见功底之深厚。除此之外，每一问都例举了多种方法和思路。拓展应用第一问中求作点P，构造弧相等。周老师从垂径定理、弦相等推出弧相等、圆心角相等推出弧相等、圆周角相等推出弧相等，四个角度进行了讲解，而前3个角度的本质就是作垂直，其原理就是垂径定理。因为垂径定理的基本图形中就包含了线段的垂直平分线、全等三角形等。第二问周老师从两个思路进行讲解，一是根据式子算出线段的长度，二是构造相似三角形，在做题中我们往往会忽略第一种方法，这也提醒我们不能忽视网格中的计算也就是网格所赋予线段的数量特征。

　　三、格点问题之思。

　　G·波利亚认为,中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”，他的“怎样解题表”的精髓是启发你去联想。学生由问题联想到不同的知识，就会形成不同的思路。在本题中知识的联想并不难，难的地方在于学生要根据相关知识找到合适的格点，进行连接和延长。这需要熟练掌握基本图形的基本性质，将图形的变换了然于胸，才能在运用的过程中实现知识与技能的升华。比如第一问作垂直要取格点C，圆周角相等要取格点E，怎样才能让学生具备这种能力呢？我想我们需要从一些基本的作图出发，先让学生自己动手摸索，然后逐步形成经验。而周老师的教学反思帮助我解决了这个问题。她通过七种常规作图，教会了我们格点作图的通性通法。作为教师，除了帮助学生归纳形成格点作图的知识体系外，在格点作图教学中我觉得更重要的是要在课堂上慢下来，留更多的时间，让学生在经历数学知识的探索中，学会归纳总结，最后形成数学思维。

　　想要提高学生的解题能力的教师，必须逐步地培养学生思维里对题目的兴趣，并且给他们足够的机会去模仿和实践。我觉得格点问题有这样的魅力，我已迫不及待想去和学生分享实践。

　　个人感言

　　2022年江苏省宿迁市中考试卷第27题，以网格作图题呈现，网格自身具有的几何特征和数量特征，为学生提供了多角度探究问题的空间，解题的关键是读懂题目信息，抓住关键点，以点代面，牵一发而动全局。本题从知识层面看主要考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、三角函数、圆等核心知识，从技能层面上，主要考查了学生的计算能力、作图能力和推理能力等，从基本思想方法上，考查了数形结合、几何直观、空间观念和转化思想等。总之，知识储备、方法积累、思维沉淀、创新意识是解决问题的关键。

　　第一问给出了用三角函数法证明两条线段垂直的推理过程，学生填空三角函数值比较容易。作垂线是格点作图的一个基本作图，故我补充了用全等法、建立平面直角坐标系，矩形的旋转3种方法证明两条线段垂直，这都是过一点作已知线段的垂线的原理。

　　第二问考查了学生对圆中“五合一”定理的理解，即弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距这五组量中，有一组量相等，则其余四组量均相等，需要学生在网格背景下也能联想到圆的相关知识，从而有了这四种思路①过点A作AP⊥OM，即要过一点作已知线段的垂线，就可以使用第一问中介绍的几种方法，比如构造全等法，先观察OM所在的直角三角形，再过点A构造与之全等的直角三角形，则斜边AC⊥OM.②作PM=AM，即作一条线段等于已知线段，可以利用垂直平分线的性质得到，即要作一条线段AP，使MO垂直平分AP，先做AD⊥MO，再通过线段的平移作BE∥OM，最后证明点P在圆上.③作∠MOP=∠ABM，即作一个角等于已知角也可以通过作垂直平分线来转换，作图方法与思路②类似.④作∠MBP=∠ABM，仍然可以通过垂直平分线，即构造等腰三角形来转换，问题是，此时以AB为腰来构造等腰三角形网格不够，从而想到通过相似法把图形等比缩小，考虑到线段OB的两个端点都在格点上，所以以OB为腰构造等腰三角形。在网格作图中，当网格不够时，常常会利用相似三角形、三角函数等方法，把图形缩小.

　　第三问要对AM2=AP×AB这个等式进行分析，学生看到这个等式最容易联想到相似三角形，即构造△AMP∽△ABM来解决问题，即把等式转化为转化为AM:AP=AB:AM

　　，从而再作∠AMP=∠ABM，即作一个角等于已知角即可解决问题.而在网格背景下，有网格可求AM=2，AB=4√2，代入可求AP=√2/2，即在网格中求作特殊线段的长度，学生便可以轻松解决了。在网格作图题的解题教学中，要学生会识别基本图形，熟悉基本图形的性质，并在网格背景中熟练运用.

　　网格作图题是近年来武汉、天津等地区中考的常考题型，在常规教学中我也始终与学生一起探讨总结网格作图题的解决方法，但学生在遇到网格作图题时总会出现这样那样的问题，所以我萌生了要研究它的念头。可是实际操作起来却比较困难，以网格作图题为背景，几乎可以考查初中阶段所有的几何知识，如何才能在一次讲题中把它讲透彻呢？于是，我开始研读课标、看教材、读论文、做近年的中考题，再到开学后找学生试做，研究学生的思路和遇到的困难等，把网格作图题最终总结为作平行线、做垂线、作垂直平分线、中点类、旋转、作角平分线、作45°角这7种基本作图，而学生在具体解决问题时需要通过几何推导将问题转化为这几种基本作图来解决。所以在教学反思中具体呈现这几种基本作图的常规常法，希望对老师们的教学有所帮助。在网格作图中，需要学生认真审题，去观察、发现、联想相关的几何知识，然后将问题转化为基本作图。比如当点不在格点上，而在格线上时，要去推导，点究竟在格线的哪个位置，这就需要用到中位线、相似三角形、全等三角形、三角函数、勾股定理等几何知识，是对学生几何推理能力的综合考查，需要学生多积累几何经验。一些基本图形，放在网格作图的背景下，学生会手足无措，主要是几何经验积累薄弱，不敢尝试构图。网格作图就像下围棋一样，围棋千百年来没有同样一盘棋局，网格作图亦是如此，它充满了很多变化与可能，学生在做网格作图时，需要灵活运用几何知识，有随机应变的能力。

　　感谢张钦博士搭建的研题平台，让我有机会能和众多爱好研题的老师们探讨交流，不仅打开了我的解题思路，更能让我以格点作图题为载体，对整个初中几何有了更系统更深入的研究，并以此为反馈到我的常规教学中去。感谢张博、黄毅老师提供的新思路，让我能够跳出已有的思维，从不同的角度去理解本题带来的价值；感谢点军天问书院初中李龙老师、李胜辉老师、赵静老师、李竹梅老师、刘可想老师及全体数学组同仁们提供的宝贵建议与大力支持，感谢金贵东老师、赵红勋老师、张跃峰老师、李胜辉老师、钟晶晶老师的精彩点评，让我对本题和教学又有了新的思考。幸得识亲桃花面，从此阡陌多暖春。很幸运我能加入这个组织，我将继续向大家学习，努力成长，争取早日成为一名有深度的数学教师。

　　周小倩老师简介

　　周小倩，女，宜昌市点军天问书院初中数学教师，教学经验丰富，秉承着十年树木，百年树人的教育理念，对学生真诚热心，并能因材施教。在教学过程中擅长总结方法，归纳题型，常常一题多解，多解归一，是一个实战型教师。