一道全国初中数学竞赛题：求AC的长，看似简单，正确率却不足10％

　　大家好，今天和大家分享一道全国初中数学竞赛题：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=15°，BC=1，求AC的长度？这道题目看起来很简单，但是据说正确率却不足10％。下面我们一起来看一下这道题，如图1。

　　图1不少网友看到这道题都会觉得很简单：AC=BC·tan15°即可求出AC的长。但是在初中数学中，15°并不算是特殊角，其三角函数值也不能直接使用，那么究竟该怎么求解呢？

　　初中阶段虽然没有要求记住15°角的三角函数值，但是一般老师都会教学生去推导15°和75°的三角函数值。下面先介绍一个15°角三角函数值的推导方法。

　　图2如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1。接下来我们来构造出15°的角，怎么构造呢？

　　延长CB至D，使得BD=AB。

　　在三角形ABD中，就有∠D=∠BAD；

　　又∠ABC=∠D+∠BAD，所以∠D=15°。

　　这样一来，我们就构造出了一个15°的角，然后在三角形ACD中进行计算。

　　因为AC=1，所以BC=√3，AC=2，从而得到BD=2；

　　由勾股定理可以算出AD=√6+√2，此时可以求出15°角的三角函数值。

　　图3再回到竞赛题，15°不是特殊角，所以我们需要通过做辅助线构造出一个特殊角，比如30°角。那么怎么构造呢？将图3和图1比较一下是不是可以发现两个图形基本差不多啊？所以我们可以从图3得到启发，那就是在三角形内部构造出一个30°角出来。

　　如图，作AB的垂直平分线交BC于点E，连接AE。

　　根据垂直平分线的性质，得到AE=BE，所以∠BAE=∠B=15°，所以∠AEC=∠BAE+∠B=30°。这样就构造出了一个30°的角，如图4。

　　图4设AE=x，则BE=x，CE=BC-BE=1-x。在直角三角形ACE中，因为∠AEC=30°，所以CE/AE=√3/2，即(1-x)/x=√3/2。解得x=4-2√3，所以AC=2-√3。如图5。

　　图5另外，也可以直接设AC=x。在直角三角形ACE中，因为∠C=90°，∠AEC=30°，所以CE=√3x，AE=2x，所以BE=2x，所以BC=CE+BE=√3x+2x=(√3+2)x=1，同样可以解得x=2-√3，如图6。

　　图6这是一道几何题，据说当时正确率不足10％，难点就在于作出适当的辅助线。只要辅助线做出来了，这道题的难度就变得非常简单。其实作辅助线一直是初中几何题的一个重点和难点，很多同学都是因为作不出辅助线而无法求解。你觉得这道题难吗？

　　举报/反馈