做题不超纲：非常难的小升初几何题！几何直观、猜想、验证、化归

　　如图一，为一道小升初几何题，对小学生六年级学生来说非常难，即便对中学生或成人来说，也有相当的难度！

　　图一

　　ABCD是一个长方形，E、F分别是AD、DC的中点，连接BE、BF并延长至M、N，M、D、N三点共线，若三角形DEM、DFN面积都等于6，求长方形ABCD的面积。

　　一、读题、看图（几何直观）、猜想

　　1、三个已知条件：ABCD为长方形；E、F为中点；S△MED=S△NFD=6。

　　貌似条件不够充分，特别是数字类条件比较缺乏，这与目标“求ABCD的面积”相比，数字类条件尤其显得不足。但也提示或提示：ABCD的面积大概率要用S△MED和S△NFD表示出来，也即本题需要用面积比来求解。

　　2、示意图比较准确，貌似比较直观，EF可能会平行MN。这相当于一个提示性或暗示性条件，也是本题求解的切入点或突破口。

　　二、猜测EF∥MN，并利用面积比证明或验证之。

　　连接BD、EF，交于O，如图二：

　　图二

　　1、由E、F为所在边的中点，易知S△BDE=S△BDF=1/4S矩形ABCD；

　　S△DEF=1/8S矩形ABCD；

　　S△BEF=3/8S矩形ABCD；

　　BO=3OD、OE=OF；

　　S△OBE=S△OBF；S△ODE=S△ODF。

　　2、由同底等高三角形面积比，可得BE/EM=S△BDE/S△MDE=(1/4S矩形ABCD)/6=S△BDF/S△NDF=BF/FN。

　　【注意由上式，并利用两直线平行判定性质可直接推出EF?MN。但这是初中知识，对小学生而言超纲！】

　　下面利用面积比来验证EF?MN。不妨记BE/EM=BF/FN=k，则再由同底等高三角形面积性质，可得

　　kS△OME=S△OBE=S△OBF=kS△ONF即有S△OME=S△ONF。

　　注意到OE=OF且O、E、F三点共线，将OE、OF分别看成△OME和△ONF的底，则由S△OME=S△ONF可知，△OME和△ONF以EF为底的高相等，也即有EF∥MN。

　　三、化归求解

　　由EF∥MN，可得S△ODE=S△OME，从而有

　　kS△OME=△OBE=3S△ODE=3S△OME

　　也即k=3。

　　由BE/EM=BF/FN=3，并利用同底等高三角形面积比性质，可知S△BDE=3S△MDE=18。因此S矩形ABCD=4S△BDE=18×4=72。

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