原创2017年高考数学压轴题，看似简单，全班没有一个满分

　　原标题：2017年高考数学压轴题，看似简单，全班没有一个满分

　　大家好！本文和大家分享一下这道2017年高考全国1卷理科数学压轴题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数的单调性、导数与函数的零点等知识。这道题看起来比较简单，思路也并不复杂，但是全班学生却没有一人得到满分。

　　先看第一小问：讨论函数的单调性。

　　在解答题中，函数的解析式通常比较复杂，所以此时讨论函数单调性一般是通过导数来进行。

　　由题意可得，函数f(x)的定义域为R，f'(x)=2ae^2x+(a-2)e^x-1，因式分解，可得f'(x)=(ae^x-1)(2e^x+1)。

　　由指数函数的性质可知，2e^x+1＞0，即f'(x)的正负取决于ae^x-1的正负。由于e^x＞0，所以当a≤0时，ae^x-1＜0，此时f'(x)＜0，f(x)在R上单调递减。当a＞0时，ae^x-1可正可负，由ae^x-1=0得，x=-lna。由于ae^x-1是整函数，故当x＜-lna时，f'(x)＜0，此时f(x)为减函数；当x＞-lna时，f'(x)＞0，此时f(x)为增函数。

　　第一小问非常简单，属于基础题，只要掌握了分类讨论的思想，做起来就非常简单了。

　　接下来再看第二小问：求参数a的取值范围。

　　已知函数零点的个数求参数取值范围，通常是先求出函数的极值，再来根据极值的正负结合单调性来分类讨论。

　　由第一小问可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，那么f(x)在R上至多有一个零点，不合题意。

　　当a＞0时，由第一小问可知f(x)在x=-lna处取得极小值，同时也是f(x)的最小值。所以接下来对这个最小值的正负进行讨论。显然，f(x)要有2个零点，那么最小值必须小于零，并且在减区间和增区间内都能找到某一个函数大于零。

　　当a=1时，f(-lna)=0，此时f(x)只有一个零点，不合题意。

　　当a＞1时，f(-lna)＞0，此时f(x)没有零点，不合题意。

　　当0＜a＜1时，f(-lna)＜0。接下来就需要在减区间和增区间内找到正的函数值。

　　由0＜a＜1知，-lna＞0，所以需要在-lna的左右两侧找到函数值大于零的点。

　　先看左侧，这种情况比较好找，我们直接代几个负数计算一下就可以了。比如f(-2)=ae^(-4)+(a-2)e^(-2)+2＞-2e^(-2)+2＞0，所以f(x)在x＜-lna上有一个零点。

　　再看右侧。这个时候如果也直接代正整数计算，那么很难判断其函数值的正负。那怎么来找到这个正的函数值就成了这道题的难点。我们先对f(x)的解析式稍作变形，即f(x)=e^x(ae^x+a-2)-x。由于当x＞0时，e^x＞x，所以我们只需要找一个自变量，使得ae^x+a-2≥1即可，即x≥ln(3/a-1)。

　　这道压轴题的第一小问很简单，第二小问的难点就是在-lna的右侧找到函数值大于零的情况。你学会了吗？

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