一道2021年高考数学真题，经典题型，高中生必须掌握

　　大家好！本文和大家分享一道2021年高考数学真题。这是2021年高考全国乙卷文科数学的的19题，考查的是等比数列的概念、等比数列的通项公式、等比数列的求和公式、等差数列的概念以及错位相减求和等知识。这是一道非常经典的数列题，高中生必须要掌握。

　　

　　先看第一小问：求数列{an}、{bn}的通项公式。

　　数列{an}是首项为1的等比数列，所以要求{an}的通项公式，只需要求出其公比q即可。而要求{bn}的通项公式，就必须先求出{an}的通项公式。

　　由于a1、3a2、9a3成等差数列，所以有2×3a2=a1+9a3，即6a1q=a1+9a1q^2，则有9q^2-6q+1=0，即(3q-1)^2=0，解得q=1/3。故数列{an}的通项公式为：an=a1q^(n-1)=(1/3)^(n-1)。数列{bn}的通项公式为：bn=nan/3=n^(3^n)。

　　

　　再看第二小问：证明Tn＜Sn/2。

　　由于Sn是等比数列的前n项和，所以直接用等比数列求和公式就能得到：Sn=[1×(1-1/3^n)]/(1-1/3)=3(1-1/3^n)/2。

　　另外，数列{bn}可以看成是等差数列{n}与等比数列{1/3^n}的相乘得到，所以可以用错位相减法来求Tn。

　　

　　Tn=b1+b2+...+bn=1/3+2/3^2+...+(n-1)/3^(n-1)+n/3^n。

　　两边同时乘以数列{1/3^n}的公比，得到：Tn/3=1/3^2+2/3^3+...+(n-2)/3^(n-1)+(n-1)/3^n+n/3^(n+1)。

　　然后两式相减，得到2Tn/3=1/3+1/3^2+...+1/3^n-n/3^(n+1)。前面部分利用等比数列求和公式求和，从而得到2Tn/3=(1-1/3^n)/2-n/3^(n+1)，即Tn=3(1-1/3^n)/4-n/(2·3^n)。所以Tn-Sn/2=-n/(2·3^n)＜0，故Tn＜Sn/2。

　　

　　数列作为解答题在高考中的难度一般不大，不过错位相减求和的计算量比较大，不少同学容易出现计算错误，这是需要特别注意的点。

　　这道题就和大家分享到这里。

　　举报/反馈