王桥：为什么要做垂线？——中考数学常见的12种做垂线的策略

　　

　　

　　  几何之难，难在辅助线。几何辅助线的内容可谓精彩纷呈。添加辅助线充分考察了转化思想、数形结合思想、类比思想、构造等数学思想。如何添加辅助线既是教学的重点，也是学生学习的难点。一轮复习，在帮助学生建立知识系统的同时，更要帮助他们建立起方法系统！——这也是连续四年我们召开一轮备考研讨会所达成的共识。

　　  咱们今天先聊聊中考最常见的辅助线：垂线！

　　  为什么要做垂线？什么情况下要做垂线？过哪些点作哪些线的垂线？......这些都是今天我们需要涉及到的内容。

　　  常言道：没有规矩，不成方圆。规和矩是中国古人发明的用来测量和画圆方的工具。

　　

　　  《周髀算经》中叙述了周公与商高的一段对话，周公问商高：“大哉言数，请问用矩之道？”商高说：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远．环矩以为圆，合矩以为方…。”

　　    翻译为现在的语言就是周公说：“数学真是了不起呵!请问怎样使用‘矩’呢？”商高答道：“把矩放平了，可以测定水平和铅直方向；把矩立起来，可以测量高度；把矩反过来倒置，可以测量深度；把矩卧于地面，可以测定水平距离；将矩环转一周，可以得到圆形；将两矩合起来，可以得到长方形．……”

　　

　　请看下图：

　　

　　是不是给人以杂乱无章的感觉？

　　  世界本来是有秩序的。为了让这些杂乱无章的线条更守秩序，我们不妨对他们进行归整：

　　

　　

　　

　　  是不是给人以赏心悦目的感觉？

　　  水平和铅垂是两种最重要的生命状态。水平的更趋稳定，铅垂的更具有生命力，把倾斜的线段转化为水平的线段或铅垂的线段，也是最重要的“斜化正”策略！

　　

　　  做垂线的基本理论依据是垂线的基本性质：经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线！

　　  做垂线的根本目的有三个：一是构造直角三角形，进而可以运用直角三角形的相关性质、三角函数等相关知识进行矛盾转化；二是通过作垂线段，运用面积法来解决问题；三是运用垂线段最短的性质。

　　  具体来讲，初中主要有以下12种情况需要做垂线：分享给大家：

　　一、作等腰三角形底边上的高，运用等腰三角形的三线合一性；

　　

　　

　　【解析】遇等腰三角形，想三线合一！

　　

　　

　　

　　二、作角平分线上的点到两边的距离； 

　　例2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为         ．

　　

　　

　　

　　三、知面积、求面积——高不离积、积不离高；

　　例3、如图，已知△ABC的面积是√3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.

　　

　　

　　  

　　四、斜线段放正——把斜线段转化为直角三角形的斜边；

　　

　　

　　

　　

　　

　　  

　　五、斜直角放正——构造弦图、三垂直模型；

　　

　　

　　

　　

　　六、遇到特殊角的三角函数作垂线——构造直角三角形，运用三角函数的定义

　　例6、如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是______，cosA的值是______________．(结果保留根号)

　　

　　

　　

　　七、作梯形的高，把梯形转化为直角三角形和矩形问题；

　　例7、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝BD，则∠ADC＝　  　．

　　

　　

　　

　　八、对角互补作双垂——构造旋转全等或相似

　　例8、（2022天门）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，，BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S．

　　 

　　（1）填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，

　　①如图1，若∠B=45°，m=5√2，则n=_____________，S=_____________；

　　②如图2，若∠B=60°，m=4√3，则n=_____________，S=_____________；

　　

　　（2）如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：

　　（3）如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小．

　　

　　

　　

　　 

　　

　　

　　（2）对角互补做双垂!

　　如图3中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．

　　∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，∴DM＝DN，∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，∴四边形DNCM是矩形，∴DM＝DN，∴四边形DMCN是正方形，∴∠MDN＝∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠NDF，∵∠DME＝∠DNF，∴△DME≌△DNF（ASA），∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△BDN绕点D逆时针旋转90°得到右边△ADH，∠ADH＝90°，AD＝m，DH＝n，∴S＝1/2mn；

　　

　　（3）如图4中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．

　　 

　　∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，∴DM＝DN，∵∠DMC＝∠DNC＝90°，∴∠MDN＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠EDF＝∠MDN＝120°，∴∠EDM＝∠FDN，∵∠DME＝∠DNF＝90°，∴△DME≌△DNF（AAS），∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△ADM绕点顺时针旋转120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，过点B作BH⊥DT于点H，

　　

　　

　　九、知坐标，求坐标，作双垂——铅垂法；

　　

　　

　　

　　

　　

　　  

　　十、作弦心距，运用垂径定理；

　　

　　

　　

　　例10——2、如图，AB是⊙O的直径，EF与⊙O相交于点C、D，AE⊥EF于点E，BF⊥EF于点F，试找出EF上相等的线段，并证明你的结论.

　　

　　【解析】做弦心距

　　如图，作OM垂直CD于M，则MC=MD。因为AE⊥EF，BF⊥EF，则AE∥OM∥BF，∵OA=OB，∴ME=MF，∴EC=FD，ED=FC。

　　

　　   

　　十一、切线的判定——作垂直，证半径

　　例11、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD+BC=CD。

　　求证：（1）以CD为直径的圆与AB相切；

　　（2）以AB为直径的圆与CD相切。

　　

　　

　　

　　

　　  

　　十二、求点到直线的最短路径问题——做垂直，垂线段最短

　　  例12、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　   　．

　　

　　 

　　

　　 

　　

　　  

　　  只有把知识和能力锤炼的炉火纯青，融会贯通，才能跳出条条框框的束缚，以无招胜有招。更多中考常见的辅助线策略，请参阅《春季攻势》第15、16讲“辅助线秘籍”。

　　

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