一道有点意思的美国数学竞赛题，知识点很多，在国内都不容易分类

　　美国AMC12的竞赛题，有点意思，难度自然跟国内的竞赛题不能比，但考察的知识点很多，如果是国内出的题目，都不容易给它分类。

　　题目：如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC向外作以B为直角顶点的直角三角形BCD，使得两个三角形有相同的周长。此时令∠ACD=α，求sin2α的值。

　　

　　美国AMC竞赛题有个特点，难度不大，有些甚至可以用太简单来形容，但经常会有些有意思的题。

　　本题不算难，抛去迷惑的外表，考查的知识点还是有点多的，首先是勾股定理。

　　根据两个三角形周长相等，可以确定△BCD的BD边和斜边CD的数量关系。

　　不妨令△ABC的直角边AB=AC=1，则BC=√2。设BD=x，CD=2-x，

　　由勾股定理可以解的x=BD=1/2，CD=3/2。

　　其次考察的是三角函数的变换。

　　设∠BCD=β，则2α=90°+2β=π/2+2β，

　　sin2α=sin(π/2+2β)=cos2β，

　　根据三角函数的二倍角公式，

　　cos2β=1-2(sinβ)^2，

　　而sinβ=BD/CD=1/3，

　　所以sin2α=cos2β=7/9。

　　小结：难度不大，但有点意思。为何说他在国内不好分类是因为如果放初中，则没学过三角函数二倍角公式；如果放高中，则又简单了点。

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