2002年高考数学压轴题，函数与数列的综合题，不少学生毫无思路

　　大家好！本文和大家分享一下这道2002年北京高考理科数学的压轴题。这是一道函数和数列的综合题，第一问的难度不大，算是送分题，但是第二问和第三问却难住了不少同学，一些同学完全没有思路。接下来我们一起看一下这道题。

　　

　　先看第一问，要求f(0)和f(1)的值。

　　如果知道函数解析式那么只需要将自变量的值代入即可，但是题干并没有告诉函数解析式，这是一道抽象函数的题目。

　　对于抽象函数的题目，在解题过程中要充分利用题干中给出的等量关系。比如第一问，求f(0)的值，我们可以令a=b=0，代入f(a·b)=af(b)+bf(a)就可以解出f(0)的值。同理，令a=b=1，代入关系式就可以求出f(1)的值。

　　

　　再看第二问，求函数的奇偶性。

　　对很多同学来说，抽象函数的奇偶性都是一个难点，但是解题的关键在于对抽象函数定义的掌握，也就是说关键是找出f(-x)与f(x)之间的关系。

　　在判断抽象函数的奇偶性时，通常需要求出一些特殊的函数值，比如f(0)、f(1)、f(-1)等，通过这些特殊值来找到f(-x)与f(x)之间的关系。

　　

　　比如本题中，我们需要表示出f(-x)，而根据题干的等量关系，f(-x)可以进行如下的变形：f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)。

　　此时，出现了f(-1)，所以需要进一步求出f(-1)的值。因为f(1)=f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1)=0，所以f(-1)=0。再代入前面f(-x)的式子中，即可得到f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数。

　　

　　再看第三问，求数列的前n项和。

　　要求数列的前n项和，首先要求出数列的通项公式。而根据题意，要求通项公式，就要求出f[2^(-n)]/n的值，怎么求呢？

　　因为f(a·b)=af(b)+bf(a)，所以当ab≠0时，两边同时除以ab，即可得到：f(ab)/ab=f(a)/a+f(b)/b。接下来，令g(x)=f(x)/x，上式就变成了g(ab)=g(a)+g(b)，所以g(a^n)=ng(a)，即f(a^n)=a^ng(a^n)=na^ng(a)=na^(n-1)f(a)。将a=1/2代入上式，即可求出数列的通项公式。

　　观察后可以发现，该数列是一个以1/2为公比、以-1/2为首项的等差数列，然后用等比数列求和公式几个求出前n项和Sn。

　　

　　第三问的难点在求数列的通项公式，其实除了上面的方法，用数学归纳法也是可以求出通项公式的，有兴趣的同学可以自己做一下。

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