2022年北京高考数学真题,导数综合题,学霸直言真简单

栏目:基础教育  时间:2023-01-12
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  2022年高考数学考试结束后,不少考生特别是新高考一卷地区的考生将羡慕的目光投向了北京。因为在大家看来,2022年北京高考试卷是真的简单,很多题就是送分题。确实,从整体上来看,2022年北京高考数学的难度较小,比如本文和大家分享的这道导数真题,学霸看完直言真简单。

  先看第一小问:求曲线的切线方程。

  这一问考查的是的几何意义、导数的计算以及直线方程。

  首先根据函数f(x)的解析式求出f(0)的值,即f(0)=0,那么曲线切点的坐标为(0,0)。再对的解析式求导,得到导函数的表达式,从而求出f'(0)=1。由导数的几何意义就得到曲线切线的斜率k=1,然后再由直线的点斜式方程就可以得到切线方程为y=x。

  再看第二小问:讨论函数的单调性。

  讨论函数的,常用的方法有定义法、图像法、性质法、复合函数单调性以及导数法,其中导数法是一个相对比较万能的方法,除了部分抽象函数,其他函数基本都可以用导数法来判断单调性。在高考中,解答题中的函数单调性也通常是用导数法求解。

  用导数法判断函数g(x)的单调性,先求出g(x)的解析式,然后得到g'(x),再通过g'(x)的正负来判断单调性。

  在本题中,要直接判断g'(x)的正负很难,所以需要求二阶导。继续分析可以发现,e^x是不会影响g'(x)的正负的,所以只需要将g'(x)中除去e^x剩下的部分的正负判断出来即可。于是设剩下部分为h(x),那么求导得到h'(x),整理后得到h'(x)=(x^2+1)/(1+x)^3。由于x≥0,所以h'(x)>0,那么h(x)在[0,+∞)是增函数,所以h(x)≥h(0)=1>0,从而得到g'(x)>0在[0,+∞)上恒成立,所以g(x)为增函数。

  最后看第三小问:证明。

  在函数解答题中证明不等式,一般需要构造新的函数。

  由(1)可知,f(0)=0,所以可以将需证明的结论进行变换,即要证f(s+t)>f(s)+f(t),即只需证f(s+t)-f(s)>f(0+f)-f(0)①,这样就可以构造一个新的函数ψ(x)=f(x+t)-f(x),则①就等价于ψ(s)>ψ(0),所以接下来就需要判断新函数ψ(x)的单调性。

  由于ψ'(x)=g(x+t)-g(x),其中t>0,即x+t>x,所以由(2)知ψ'(x)>0,即ψ(x)为增函数。又s>0,故ψ(s)>ψ(0),从而结论得证。

  这道题就和大家分享到这里,你觉得这道题难度怎么样?

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