2017年高考数学北京卷解析

　　2017年高考数学北京卷以《普通高中数学课程标准(实验)》和《北京市普通高中新课程数学学科教学指导意见和模块学习要求(试行)》以及《考试说明》为依据，在命题的整体思路、试卷设计、试题风格以及整体难度等方面，既保持相对稳定，又有适度变化，体现继承与创新相结合的原则;适当注意到文理科考生的不同特点，同时关注作为公民对数学所必备的共同基础，以及新高考改革趋势;既体现了高考的选拔功能，又在引导中学数学教学方面进行了新的探索.

　　一、立德树人，体现数学核心素养与数学文化

　　通过数学的学习，获得终身发展所必备的数学核心素养和意志品格，是数学教育的基本目标，也是创新人才培养的关键因素.高考数学命题既要关注对数学基础知识、基本技能的考查，更要关注考生终身发展所需要的数学核心素养.

　　试卷多处从不同角度和层次考查了考生数学运算能力，借助理科(7)题和(16)题，文科(6)题和(18)题考查考生的直观想象，借助理科(17)题和文科(17)题考查考生数据分析和数学建模等数学核心素养.

　　抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法.根据数学学科的这一特点，让考生在数学学习中逐步培养和提升数学抽象能力、感悟抽象的数学与鲜活的现实世界之间的联系，体验数学模型思想，是数学教学的一个重要任务.例如，理科(20)题来源于优化理论的一个算法，但并不需要考生掌握超出课程标准要求之外的数学知识，考查的是考生通过中学阶段数学基础知识的学习，正确理解抽象的数学概念，在逻辑推理的基础上，从具体中进行数学符号化表征的能力.考生要有比较全面和扎实的数学基础，具有较高的综合分析问题、解决问题的能力和较好的数学抽象、逻辑推理和数学建模等素养.

　　数学是人类文化的重要组成部分，数学教育对科学理性精神的培养、严谨求实的科学态度的形成具有重要的作用.数学教育需要体现价值观、人生观的正确导向功能.

　　例如，文理(13)题是一道开放型试题，答案不唯一，要求考生通过一个反例证伪，培养考生批判质疑的科学态度.

　　教育部2017年新修订的《考试大纲(数学)》中增加了数学文化的考查要求.文理(8)题中选择了传统文化中极具代表性的符号———围棋，从数学的视角欣赏和理解优秀传统文化的博大精深，强化爱国主义精神和民族自豪感，深入发掘中国文化内涵，讲好中国故事.

　　二、注重基础，强调数学核心概念与学科本质

　　高中教育属于基础教育.高中数学课程具有基础性，承载着使未来公民掌握必需的数学基础知识、基本技能的任务.数学试卷整体上保持一定比例的基础题.选择题和填空题大多以考查考生对数学基础知识的理解为主，检测考生对高中数学课程标准所要求的相关知识内容的掌握情况.解答题中文理科(15)题、(16)题以及(18)题、(19)题的第一问等，都考查考生对相关基本概念、性质的理解情况.

　　三、能力立意，重视数学思想方法与通性通法

　　学习数学不仅要掌握知识和技能，更要掌握思想和方法.数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是数学的灵魂和精髓.掌握数学的思想和方法，学会数学的思考，是高中数学教学的核心任务和长远目标，对数学学科能力的发展有关键作用.

　　数学思想方法、数学能力的考查要与数学知识的考查结合进行.考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧.突出数学试题的能力立意，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力.强调探究性、综合性、应用性.例如，理科(14)题要求考生在对具体实例抽象概括的过程中，发现研究对象的本质，充分利用向量工具性，通过数形结合解决给定的实际问题，考查考生抽象概括能力和推理论证能力.文科(14)题考查逻辑推理，要求考生根据约束条件，利用各个量之间的数量关系，推断人员构成的有关结论.理科(19)题和文科(20)题，都是重点考查考生利用导数研究函数性质的通法.

　　四、重视应用，着力综合实践能力与创新意识

　　《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》指出，基础教育阶段要提高基础教育的质量，要着力培养学生的学习能力、创新能力和实践能力.数学是现代高新技术发展的关键推动力，已成为人类生活必不可少的重要组成部分.将数学运用于实践，是公民必备的基本能力.对数学实践应用能力和创新能力一直是近年来高考数学北京卷的重要内容.

　　例如，理科(17)题是一道概率统计题，直接的背景是研究一种新药的疗效，让考生理解当今大数据时代下的统计分析方法及其应用的思路.本题主要考查考生在实际问题情景中对图和数据的学习能力，应用随机变量分布列、数学期望和方差等统计知识进行数据分析解决实际问题的能力.

　　文科(17)题主要是在实际生活中让考生理解和应用分层抽样的原理对总体进行统计推断，要求考生具备应用频率分布直方图进行数据分析，应用样本频率估计总体概率的思想解决实际问题的能力.

　　五、科学评价，引导中学数学教学与学生发展

　　高考的一项重要功能是科学选才，同时也需要对教学实践起到积极的导向作用.一方面，试卷在适当控制难度的前提下，通过设计一定比例的基础题，重在考查考生对数学基础知识、基本技能的理解、掌握和运用.倡导在日常教学实践中，面向全体学生，重视数学核心概念的学习和理解，掌握数学的本质.注重知识的形成过程，淡化特殊的技巧训练，满足所有学生的共同数学需求.

　　另一方面，通过设计一定难度和区分度的灵活多样、综合性问题，考查考生解决问题的能力，既可让不同能力水平的考生得到充分展示的机会，又可将不同能力水平的考生甄别出来，满足不同层次大学的选才需求.

　　文科试卷：突出核心素养 考查实际应用

　　文科数学试卷在结构、题型等方面继续保持了稳定平和的特点，突出数学核心素养的考查，重视揭示数学核心概念的本质属性，强调数学实际应用和考生的生活体验，体现中国传统文化.为了引导考生多角度入手，在题目设问上做了积极的探索，鼓励考生大胆质疑，用数学的知识与方法解决问题.

　　总体稳定 稳中有变

　　和2016年相比，多数试题的知识呈现形式及顺序基本不变，如选择题前三道试题考查的内容和六道解答题考查的顺序完全一致.(13)题的解答方式、(16)题第二问的设问方式都有新意.

　　注重基础 揭示本质

　　文科试卷的选材大多源于教材，重点知识重点考查.如数列的通项与求和、三角变换与三角函数的图像与性质、统计与概率的应用、空间几何中线面平行与垂直、解析几何中直线与曲线的位置关系、函数与导数等核心知识，同时涉及了集合、不等式、简易逻辑、推理与证明、向量、算法、复数等知识.突出考查对基本概念的理解，如(7)题考查平面向量共线定理，(9)题考查三角函数的定义.

　　考查能力 突出核心素养

　　通过在知识的交汇点处命题、创设新背景问题，突出数学试题的能力立意，凸显核心素养的考查.(6)题考查直观想象，(8)题突出数学运算，(14)题考查数学建模，(18)题考查逻辑推理等，(13)题突出逻辑推理能力的考查，(19)题注重几何本质和解析几何基本思想方法的考查，(20)题考查函数的通性通法.

　　重视传统文化 考查实际应用

　　应用数学知识解决较复杂、具有挑战性的问题，在本次试卷中得到充分体现.如(8)题，以围棋这一传统文化为背景，通过数学化的运算手段，解决围棋状态空间复杂度的近似计算.以考生熟悉的问题为背景，考查数学在实际生活中的应用.(14)题要求考生通过阅读，提取信息，构建数学模型;(17)题要求考生通过经历分析图表数据、做出估计这一完整过程，体会统计的思想，学会用数学的思考方式解决问题、认识世界.

　　理科试卷：突出通性通法 强调数学应用

　　理科数学试卷在坚持重视基础的同时，注重思想方法的考查，突出考查了考生的数学素养、数学应用意识、理性思维等，在数学文化方面也有所体现.

　　注重基础 突出通性通法的考查

　　试卷平和稳定，注重基础考查.例如选择题的前几题是考生熟悉的集合、复数、程序框图、线性规划等问题;填空题的前四题涉及的知识依然是等差数列、等比数列、双曲线、极坐标中的基本概念与运算;解答题前三题的载体是解三角形、立体几何、统计与概率中的基本问题.这些题目入手容易，有助于考生稳定发挥.

　　试卷突出了基本技能、基本思想方法的考查.例如读图、读表、计算、数据处理等基本技能，数形结合、转化与化归、函数与方程等基本数学思想方法.

　　合理设置梯度 突出选拔功能

　　试卷在适当控制难度的前提下，通过设计一定难度和区分度的问题，让不同层次的考生都能得到充分展示的机会.例如与往年试题相比，根据试题新颖程度的不同，本卷调整了立体几何与概率统计问题的位置;根据设置问题的难易，对换了解析几何与导数问题的位置.这些调整与变化以能力立意为主，通过合理的设置梯度，考查考生对知识的理解是否到位，体现了选拔功能.

　　强调数学应用 体现传统文化

　　试卷在注重知识和方法考查的同时，强调数学的应用，且体现了传统文化.例如选择题的(8)题，以中国围棋状态空间复杂度为背景，又与现在的人工智能相结合，落脚点在常考的对数运算上.再如(17)题，研究了药物疗效中的数学问题，突出对图形数据分析理解能力的考查.这个问题来自生活实际，却又高于生活.

　　关注数学本质 渗透学科核心素养

　　试题在考查通性通法的基础上，以命题的新颖性，避开了模式化的解题思路，在问题的考查角度和呈现方式上都有所改变，突出了数学的本质.如(12)题，从三角函数几何定义的角度呈现试题;(13)题是一道开放型试题，答案不唯一，要求考生举反例进行证伪.

　　整套试卷对数学核心素养进行了充分考查.例如(6)题考查了逻辑推理素养，(7)题、(14)题考查了几何直观素养，(20)题对数学抽象素养进行了考查，等等.这些都与新课程标准中的理念相吻合，将引导今后的数学教学.

　　孙秀平 西城区教育研修学院教研员 张如意 北京市潞河中学教师 王文英 朝阳区教育研究中心教研员

　　张许合 东城区教师研修中心教研员 邵文武 海淀区教师进修学校教研员 李青霞 北京教科院基教研中心教研员