【竞赛几何题】解答2022年数学联赛二试的第一题（金磊几何）

　　

　　

　　2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛于今天（9月11日）举行，除了如北京、天津、四川、贵州、海南、湖北、山东、内蒙古、江西、辽宁、黑龙江等部分省份因为疫情原因推迟考试外，各省都有序组织了考试。

　　其中A卷二试的第一题为平面几何题，题目如下：

　　

　　本文拟记录一下本人对此题的思考探索过程。

　　老规矩，

　　首先先尝试依题意作图，

　　显然ABCD在以AC为直径的圆上。

　　下面要在BD上确定点P使得∠APB=2∠DPC，

　　似乎P很不好确定，只能先画一个近似的草图了。

　　下面要在AP上确定点X、Y满足∠AXB=2∠ADB，∠AYD=2∠ABD,

　　这个似乎不难，设AC中点为O（即为圆心），

　　由∠AXB=2∠ADB得∠AXB=∠AOB,则AOXB共圆。同理AYOD共圆。如下图：

　　

　　但是条件∠APB=2∠DPC还是很难用。

　　考虑到图形的唯一性，我们应该可以知道其逆命题也是成立的。

　　这样我们就能通过其逆命题作出准确的图形了，即：

　　以O为圆心CD/2,BC/2为半径的圆分别交圆AOB、AOD于X,Y,

　　则AYX共线，且和BD的交点即为所求的满足∠APB=2∠DPC的P点。

　　以下在准确的图形下面研究，更有利于发现和验证一些有价值的猜测。

　　

　　其次从结果入手，

　　要证明BD=2XY,基本思路是截长或补短，

　　即把长线段等分或者短线段倍长，发现似乎意义不大。

　　另一个思路就是相似，XY在△OXY中，BD在△CDB或△BDA中，

　　在图中发现似乎有△OXY～△CDB,这个不难倒角证明：

　　∠OYX=∠ODA=∠OAD=∠DBC,同理∠OXY=∠BDC,从而成立。

　　下面的难点在于如何由∠APB=2∠DPC证明两个三角形的相似比为2。

　　再次回到已知条件中，

　　必须用好∠APB=2∠DPC这个条件！

　　经过一段时间的探索，发现

　　延长CP显然此直线平分∠APB，故可以考虑延长CP交圆O于J，

　　又倒角可得∠DYP=2∠DBC,结合∠APB=2∠DPC

　　及三角形外角等于不相邻两内角和可得∠YDB=2∠PCB,

　　进而发现延长DY交圆O于E，则J为弧BE中点，

　　还有EC//OY且JE=JQ,YA=YQ,

　　这些似乎都不难证明。

　　这样由中位线定理知CQ=2OY,

　　从而需证CQ=CB.

　　即需证△CPQ?△CPB，

　　这个不难倒角得证。

　　这样基本就得到了一种解法。

　　

　　下面尝试对上述解答简化和整理，不难发现上述证明的关键是E，

　　故可以不用作出J点。当然为了方便倒角，还是在CP延长线上取一点F。

　　从而得到如下证明：

　　

　　证明：

　　设AC中点为O，

　　则ABCD在以AC为直径的圆O上，

　　设DY交圆O于E，EC交AP于Q，

　　CP交AB于F。

　　由∠AXB=2∠ADB得∠AXB=∠AOB,

　　则AOXB共圆。

　　同理AYOD共圆。

　　∴∠OYX=∠ODA=∠OAD=∠DBC,

　　同理∠OXY=∠BDC,

　　∴△OXY～△CDB,

　　∴BD/XY=BC/OY。

　　又∠E=∠DAC=∠OYD,

　　∴CE//OY，

　　∴OY为△ACQ中位线，

　　∴CQ=2OY。

　　又∠PQC=∠PYO=∠CBP.

　　由∠APB=2∠DPC得∠BPF=∠APF,

　　则∠BPC=∠APC,

　　又CP=CP,

　　∴△CPQ?△CPB(AAS),

　　∴CB=CQ,

　　∴CB=2OY,

　　∴BD/XY=BC/OY=2,

　　即BD=2XY.

　　百尺竿头更进一步，进而发现上述证法的关键是点Q，故还可以不作E点，甚至F点也能省去，所以上述证明还能再简化如下：

　　

　　证明：

　　设AC中点为O。

　　则ABCD在以AC为直径的圆O上，

　　在AP上取点Q，使得CQ//OY。

　　由∠AXB=2∠ADB得∠AXB=∠AOB,

　　则AOXB共圆。

　　同理AYOD共圆。

　　∴∠OYX=∠ODA=∠OAD=∠DBC,

　　同理∠OXY=∠BDC,

　　∴△OXY～△CDB,

　　∴BD/XY=BC/OY。

　　又OY为△ACQ中位线，

　　∴CQ=2OY。

　　又∠PQC=∠PYO=∠CBP.

　　由∠APB=2∠DPC得

　　∠APC=∠APD+∠CPD

　　=180°-2∠DPC+∠DPC

　　=180°-∠DPC=∠BPC.

　　又CP=CP,

　　∴△CPQ?△CPB(AAS),

　　∴CB=CQ,

　　∴CB=2OY,

　　∴BD/XY=BC/OY=2,

　　即BD=2XY.

　　这就得到了本题的一种简洁明了的证法。

　　最后，对上述证法和题目做一简单评价。

　　本题难点一直集中于如何使用∠APB=2∠DPC这个条件，

　　题中AOXB、AYOD共圆不难得到。

　　△OXY～△CDB也容易发现。

　　上述证法的关键是先将∠APB=2∠DPC转化为∠BPC=∠APC,

　　本解法的画龙点睛之处是点Q，

　　由此将比例通过中位线和全等顺利的转化成功。

　　本题是一个难得的好题，图形平实、结论优美、解答精妙，从已知到解答都独出心裁、不落窠臼，基本上人见人爱。大家对它的评价都很高。

　　当然平心而论，本题难度还是不低的，作为第一个题目门槛有点高，似乎给了学生一个下马威，应该没有达到“送分”的效果。不少几何高手都在此题上折腰，或者虽然解决了，但是花费了大量的时间和精力。所以很多人觉得本题虽然是第一题，但是比往年的第一题几何难很多，甚至比往年的第二题几何都要难。

　　本题的解法很多，有人是通过相似及正弦定理计算得到的。我见到的大多数解答类似于参考答案。

　　参考答案的解法为：

　　

　　本题人见人爱，B卷的第一题也使用了其简化版的等价命题，题目如下：

　　

　　本题应该还有其他的解法，有兴趣的读者可以自行探索。