2023考研数学一真题解析第20题

　　这是题目 难不难

　　这道题目应该还是比较难的。2023年计算题没有2022年的难。这道证明题需要使用到不会引人注意的知识点——带有拉格朗日余项的泰勒公式。

　　一般来说，对好多人来说，证明题的思路比计算题更不容易想到。数学理论本质上也是由计算需求的驱动发展起来的。微积分的无穷小，导数本身这些基本的概念也是受计算天体运动的力学原理的激发而产生的。我们现在教材上，说的由柯西提出的极限定义，是在牛顿建立微积分建立以后100多年才产生的，当时微积分的计算方法已经发展的比较丰富了。所以微积分计算方法的发展是先于理论的。如果让一个人，从头到脚叙述一个人的外表，绝对不会发生忘词的现象，但是搞成语接龙，非常熟悉汉语的人，也会发生想不起来的现象，但是如果查词典的话，就会有许多。 本质上，人脑里的信息 是按应用场景组织起来的，如果要从其它角度进行检索，比如成语接龙按发音，就会感觉远不如按视觉形象检索顺利。数学知识在人脑中的组织，也是按应用场景组织的，把常见计算方法流程化以后，遇到相似场景自然而然就想起来了。而证明题，好多题目的条件和结论，应用背景并不鲜明。如果要命一个比较难的不定积分题很容易，因为算导数容易，逆向返回去，算积分就比较难。而证明题，就是出题人自己假设条件，应用某定理以后，得出一个结论。然后让考试人 猜当时的应用场景。一般证明题目条件越多的，拼凑的痕迹越明显，猜测起来也难。

　　一些著名的证明难题，比如哥德巴赫猜想，费马大定理，题目条件都非常简洁，是自然形成的。

　　泰勒级数，在实际应用中，可以根据函数在某些点的 n 阶导数值，计算其附近的值。可以逼近到任意精度。对计算三角函数，指数函数，对数函数等的值，具有重要的价值。

　　带有皮亚诺余项的 泰勒公式，表示函数自变量无限逼近参考点时，误差是个更高阶的无穷小。

　　带有拉格朗日余项的泰勒公式，当要计算的函数自变量值和参考点的差值为固定时，可以用来估算误差的上界,可以算出利用n阶泰勒公式算到n 项泰勒展开以后，和实际值最大误差是多少。当计算结果用分数表示时，不会有舍入误差。

　　带有拉格朗日余项的泰勒公式，包含了拉格拉日中值定理的情形。从误差估计的角度看，算的泰勒级数相数越多，误差范围越小。

　　这道证明题，第一问。

　　题目给定条件 f(0)=0

　　这样用 带有拉格朗日余项的泰勒公式，计算 f(a)和 f(-a) 的函数值，参考点设置为0，偏移值就分别为 a 和 -a,函数在 (0，a)和(-a,0)之间的 二阶导数值 包含在 拉格朗日余项里。

　　这样将 两个偏移值的 泰勒展开式相加，常数项都等于0，一次项正负相抵消。剩下的就是二次项了。然后利用介质定理，两个数的上下界相同，则它们的平均值也一定位于上下界中间，对于连续函数来说，一定有一点等于这个平均值。

　　就把第一问的结论证明了。

　　一般练习题，好多用拉格朗日中值定理估算上下界，证明不等式。用到泰勒公式的练习题，一般直接计算 n 级展开，用来比较不同函数值的大小或做无穷小阶的估计。一般不会用到带有拉格朗日余项的泰勒公式来估算误差范围。所以好多人对这个场景不熟悉。题目的条件和要证明结论之间又有一定的隐藏作用。所以想到用 这个知识点来证明，还是不容易的。

　　第二问的证明，

　　第一问的证明，泰勒展开参考点为0点。

　　第二问的证明，泰勒展开参考点为一阶导数零点。题目条件告诉了，在 -a 和 a 之间有极值。所以在这个极值点，一阶导数等于0。

　　将两个泰勒展开相减后，常数项为同一值，抵消，一次项都为0，也没有了，就剩下二次项了。

　　然后 在 利用绝对值的性质，两数之差的绝对值一定小于 两数绝对值之和。将二次项的绝对值放大。

　　将两个泰勒展开二次项由差转化为和。

　　再利用 两个泰勒二次项中二阶导数值，必然有一个绝对值大于等于另一个，将二次项的绝对值再次放大。以便于多项式合并计算。

　　再利用 参考点，导数零点，位于-a 和 a 之间，将不等式右侧再次放大。消了导数零点，都用a 来表示。

　　这样就证明了 所得结论。

　　第二问，要进行代数不等式的多次缩放。包含多项式合并，绝对值放缩。

　　如果中学以前熟悉不等式证明，变形好计算。如果不熟悉不等式。刚证明不等式这部分就比较繁琐。

　　反正，几何图形直觉，物体运动预测直觉，人们在生活中就会发展出来。而代数式计算感觉，不等式感觉，需要做专门的练习题才能发展出来。 要靠条件拼凑出结论，确实不容易。

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