2017考研数学：透过历年真题读懂大纲

　　考研数学大纲是考研复习的权威依据。它针对每一部分内容规定了“考试内容”和“考试要求”。不过，只看考纲恐怕不能完整把握考研要求。如考纲提到“掌握极限的性质及四则运算法则”，这提醒考生极限的性质和四则运算法则是重要考点，须掌握。可是考试到底怎么考?要达到什么程度(会做哪几类题)才算掌握?光盯着考纲看是得不到让人满意的答案的。怎么办?把历年真题请出来就好了：找出历年真题中与极限性质四则运算法则相关的考题。解题，分析题，总结题，答案就浮出水面了。换句话说：考纲和真题双剑合璧，才能完整把握考研数学的要求。下面笔者和考生一起结合真题读考纲。

　　一、函数、极限、连续

　　模块

　　考试内容

　　真题题型

　　函数

　　定义

　　建立函数关系（如数三根据经剧情片济背景列出利润的函数关系式）。

　　运算（四则运算、复合、反函数）

　　1.求复合函数或某函数的反函数的解析式。

　　2.结合函数运算判断函数的性质（如“连续加连续=连续，连续+间断=间断”）。

　　性质（有界性、单调性、周期性、奇偶性）

　　1.单独以选择题的形式考察函数是否具有该性质。

　　2.运算过程中利用该性质化简（如无穷小乘以有界量等于无穷小量，奇函数在对称区间积分值为零）。

　　分类（基本初等函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程定义的函数、变上限积分函数）

　　识别各类函数，并作进一步讨论（如识别该函数为隐函数，并求导数）。

　　极限

　　定义（数列极限、函数极限、左极限、右极限、无穷小、无穷大）

　　概念题。

　　性质（唯一性、有界性、保号性）

　　有界性考概念题，保号性结合其他考点（极值、拐点、级数）考查。

　　计算（四则运算法则、洛必达法则、等价无穷小替换、夹逼定理、单调有界必有极限原理、重要极限、泰勒公式）

　　极限计算是必考题。

　　连续

　　定义

　　根据定义判断函数在一点、开区间以及闭区间的连续性。

　　间断点

　　求给定函数的间断点（找“可疑点”，再按照间断点的分类标准一一判断）。

　　初等函数的连续性

　　利用初等函数的定义识别初等函数，并利用此处的结论判断其连续性。

　　闭区间上连续函数的性质

　　用此处结论（最值定理、介值定理、零点定理）做中值相关证明题 。

　　二、一元函数微分学

　　模块

　　考试内容

　　真题题型

　　导数定义

　　导数定义

　　凑定义算极限、可导的充要条件。

　　微分定义

　　由微分定义得出的微分的计算公式。

　　可导、可微、连续之间的关系

　　分段点处的连续性与可导性。

　　导数计算

　　求导公式、法则

　　求一元函数导数，求多元函数的偏导数。

　　常考类型

　　幂指函数求导、参数方程确定的函数求导和隐函数求导。求高阶导数。

　　导数应用

　　切线与法线

　　求切线方程、法线方程以及曲线相切问题。

　　单调性

　　求函数的单调区间或证明函数的单调性，不等式证明，根或零点问题。

　　极值

　　找极值点或极值（利用极值的必要条件和充分条件）。

　　凹凸性

　　求函数的凹凸区间或判断函数的凹凸性。

　　拐点

　　找拐点（利用拐点的必要条件和充分条件）。

　　渐近线、曲率

　　求函数的渐近线（用渐近线的定义）。数一数二要求会用曲率的计算公式算曲率，利用曲率圆和曲率半径的概念解题。

　　中值定理

　　中值定理（费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）

　　中值相关证明（从待证式子出发，分析选择哪类定理（连续相关定理、微分相关定理、积分相关定理））。用泰勒公式算极限。

　　三、一元函数积分学

　　模块

　　考试内容

　　真题题型

　　不定积分

　　原函数与不定积分

　　根据原函数与不定积分的关系求不定积分。

　　性质

　　利用性质化简不定积分。

　　计算

　　考查凑微分法、根式的处理、分部积分法。有理函数积分，三角有理式的积分，指数有理式的积分。

　　定积分

　　定义

　　利用定义算极限（先由定积分的定义推出基本公式，在将所求极限凑成公式的形式（可分两步走“凑i/n”，“提1/n”），再将极限化为定积分，通过算定积分间接算极限）。利用定义体现的微元法思想处理应用问题。

　　性质

　　利用性质对定积分变形。单独考查比较定理（考研考查定积分的比较本质上都在考查比较定理）。

　　微积分基本定理

　　变限积分求导定理的证明。利用变限积分求导定理求变限积分的导数（由变限积分和另一函数构造的复合函数，被积函数同时含有积分变量和求导变量）。利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分。

　　定积分应用

　　几何应用

　　平面图形的面积（直角坐标系下曲边梯形的面积和极坐标系下曲边三角形的面积），简单几何体的体积（包括旋转体的体积）。数一数二考查曲线弧长和旋转体的侧面积。几何应用侧重套公式计算。

　　物理应用

　　数一数二考查变力做功，形心质心和液体的静压力（利用微元法推出基本公式）。物理应用侧重套利用微元法推导。

　　广义积分

　　定义

　　利用定义判断广义积分的敛散性。

　　计算

　　计算广义积分（可视为“定积分+取极限”）。

　　同学们在学习每一个知识点的过程中，要做好笔记。对于自己不理解的地方要标记出来，便于后期进行查漏补缺。每做完一道题目，要明白其解题思路，对于解题过程中所用到的方法、技巧进行归纳总结，今后再遇到同类型题目时，不费吹灰之力便可解决。如在求解极限的题目中，什么时候使用洛必达法则、等价无穷小，这种解题技巧有必要进行总结。