初三上学期,圆的概念的五个重要考点,你掌握了吗
在圆这一章中,有五个重要考点需要掌握,无论在平时的大小考试中,还是中考,都是热点。
01知识点一:圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等。现在课本中主要介绍的为圆心角、弦和弧三者之间的关系,其实弦心距也是相等的,可以通过全等三角形进行证明。
我们可将之进行推广,在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量对应相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
例题1:如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.求证:AE=CE.
解法一:由AB=CD知弧AB=弧CD,同时减去弧AC得到弧AD=弧BC,同圆中同弧所对的弦相等得AD=BC,结合∠ADE=∠CBE,∠A=∠C通过“ASA”可证△ADE≌△CBE,从而得出答案.
解法二:根据我们上一篇讲的连接法构造全等三角形,可连接线段AC或BD,证明△ABC≌△CDA(SSS),得∠BAC=∠ACD,根据等角对等边得AE=CE.
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系,在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等
¥5五年中考三年模拟九年级上册数学 2021人教版配套全教材解 53五三初中曲一线同步练习册 初三辅导工具书淘宝月销量1758¥34.2¥42.8购买02知识点二:圆心角与圆周角的关系
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,直径所对的圆周角为直角,90°圆周角所对的弦为直径。
例题2:如图,AB是⊙O的直径,D是弧BC的中点,弦DH⊥AB于点E,交弦BC于点F,AD交BC于点G,连接BD,求证:F是BG的中点.
分析:通过垂径定理、弧与圆心角、圆周角的关系证明∠CBD=∠HDB,通过等角对等边得到FB=FD,再证明∠FDG=∠FGD,得到FD=FG即可解决问题.
因此,圆周角与同弧所对的圆心角相关,那么与之对应的弦、弦心距也可以得到对应关系。
五年中考三年模拟九年级上册数学化学物理全一册全套3本 2021人教版 配套课本全教材解淘宝¥95.5¥119.4购买03知识点三:垂径定理及其推论
垂径定理及其推论是本章的重点,垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。当然,垂径定理的推论不仅仅只有这一个,知识点一种的弦、弧、圆心角三者之间为“知一推二”,而在垂径定理中为“知二推三”。其它推论课本中没有明确给出,我们在解题时可通过全等进行证明。
例题3:⊙O中,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,且∠DEB=60°,求CD的长.
分析:作OP⊥CD于P,连接OD,根据正弦的定义求出OP,根据勾股定理求出PD,根据垂径定理计算。
垂径定理是本章的重点,也是考试的重点,需要熟练掌握。
04知识点四:点与圆、直线与圆的位置关系及其相关数量关系
点与圆的位置关系有:在圆外、在圆上、在圆内,比较点到圆心的距离与半径的大小关系;直线与圆的位置关系有:相离、相切、相交,比较圆心到直线的距离与半径的大小关系。证明切线常用的思路有:(1)作半径,证垂直;(2)作垂直,证半径,遇到切线时常用的辅助线为:连接圆心与切点,构造直角三角形。
例题4:如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,弧CD=弧BD,过点D作EF⊥AC,垂足为E,交AB的延长线于点F.求证:直线EF是⊙O的切线
分析:根据题目的特点,选择“作半径,证垂直”。连接AD,OD,由CD=BD,得∠DAB=∠DAC,根据等腰三角形的性质得到∠DAO=∠ODA,等量代换得到∠DAC=∠ODA,推出AE∥OD,于是得到结论。
直线与圆的位置关系也是本章的重点,特别是切线的性质定理和判定定理。
05知识点五:正多边形、弧长公式、扇形的面积公式
熟悉正多边形的有关概念,如半径、边心距、中心角等,熟悉弧长公式,扇形的面积公式等,会熟练的计算。
例题5:如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.(1)求证:△ABC是等边三角形.(2)若⊙O的半径为2,求等边△ABC的边心距.
分析:(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,从而可判断△ABC的形状;(2)过O作OD⊥BC于D,连接OB,根据直角三角形的性质即可得到结论.
中考专题回顾:
2020年中考数学专题复习,二次函数与三角形面积最值问题,铅锤法
2020年中考数学专题复习,几何最值之将军饮马、胡不归、隐形圆
2020年中考专题复习,圆的相关概念性质、计算,“圆”来如此简单
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