2021年深圳中考数学选择压轴题,结合正方形和三角形的各方面知识
这是2021年深圳中考数学选择题的压轴题。这种题是中考数学选择题比较讨厌的,因为错一个就全错了,解一道题相当于要解4个问题。
如图,在正方形ABCD中, AB=2, E是BC的中点, 在BC延长线上取点F使EF=ED, 过点F作FG⊥ED交ED于点M, 交AB于点G, 交CD于点N, 以下结论中:①tan∠GFB=1/2; ②NM=NC; ③CM/CE=1/2; ④S四边形GBEM=(根号5+1)/2, 正确的个数是( ).
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
分析:①∵FG⊥ED, ∴△DMN是直角三角形,
∠MDN=90-∠DNM,(直角三角形两个锐角互余)
在Rt△CFN中, ∠GFB=90-∠CNF,
∵∠CNF=∠DNM(对顶角相等)
∴∠GFB=∠MDN,
又E点是BC的中点, CE=BC/2=CD/2,
∴tan∠GFB=tan∠MDN =CE/CD=1/2. ①正确。
②连接DF, 则∠EFD=∠EDF,①中已证∠GFB=∠MDN,∴∠NFD=∠NDF,
∴DN=FN,
∴Rt△DMN≌Rt△FCN,(AAS)
∴NM=NC. ②正确.
③虽然肉眼可见这个结论是错误的。但是学数学不能单凭肉眼,还是要有证明的。这里直接证明比较麻烦,可以采用反证法:假设结论成立,求出各边的长,然后在一个直角三角形中检验勾股定理不成立,所以假设不成立,所以结论错误。
CE=BC/2=AB/2=1,
DE=根号(CD^2+CE^2)=根号5,
∵EF=ED, CF=MD,(已知以及全等三角形的性质)
∴ME=CE=1,
∵∠MEC=∠DEF, ∴△EMC∽Rt△EDF,(有公共顶角的两个等腰三角形相似)
若CM/CE=1/2, 那么CM=1/2,(这里运用反证法)
又DF/CM=DE/ME=根号5, ∴DF=根号5 /2,
CF=EF-CE=DE-CE=根号5-1,
在Rt△CDF中, CD^2+CF^2=10-2倍根号5≠5/4=DF^2,(不符合勾股定理)
∴CM/CE≠1/2. ③错误。
④BF=BC+CF=2+根号5-1=根号5+1,
BG=BF·tan∠GFB=(根号5+1)/2,
MF=ME/tan∠GFB=2.
S四边形GBEM=S△BFG-S△EFM
=BF·BG/2-EM·MF/2=(根号5+1)2/4-1=(根号5+1)/2. ④正确。
选B.
这是作为平时学习,一定要把其中的道理弄明白,否则以后题目一有改变,就适应不了。还有一点需要注意的是,这种题有时候也问“错误的个数有几个”,审题一定要审清楚了。如果你有其它想法,欢迎讨论。人非圣贤,孰能不出错,如果老黄有哪里搞错了,欢迎指正,谢谢!
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