高中数学竞赛及如何入门（分享）

　　

　　一、 什么是数学竞赛？

　　我们现在所说的高中数学竞赛，通常指的是全国中学生数学奥林匹克竞赛，由中国数学会和中国科学技术学会共同举办，简称数学竞赛、数学高联。

　　

　　二、 如何学习？

　　1. 预赛、联赛、决赛分别要学什么程度

　　全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部 2003 年《普通高中数学课程标准（实验）》规定的数学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛（二试）与中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加些数学课程标准之外的内容，如：

　　①平面几何

　　几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

　　三角形旁心、费马点、欧拉线；

　　几何不等式；几何极值问题；

　　几何中的变换：对称、平移、旋转；

　　圆的幂和根轴：面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

　　②代数

　　周期函数，带绝对值的函数；

　　三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

　　递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；

　　第二数学归纳法；

　　平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚假成对定理；函数迭代，求 n 次迭代*，简单的函数方程*。

　　③初等数论

　　同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。

　　④组合问题

　　圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

　　组合计数，组合几何；抽屉原理；容斥原理；极端原理；图论问题；集合的划分；覆盖；平面凸集、凸包及应用*。

　　（有*号的内容加试中暂不考，但在 CMO、IMO 中可能考）

　　

　　2.入门书单

　　奥数教程（熊斌、冯志刚著）

　　这套书按年级分为高一、高二、高三三套，每个年级包含教程、测试和学习手册三本，是比较基础、入门级的竞赛教程。

　　《奥数教程》从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点，比较适合刚接触竞赛的学生使用。

　　对于刚接触竞赛的学生，可以先只学习高一和高二分册，因为联赛一试部分的内容只在这两册基础篇。

　　高一年级分册包括的知识点有：集合、函数、数列、三角函数、向量和立体几何，除了集合包含一定的组合知识，其他的内容均为纯粹的一试内容。

　　高二年级分册的基础篇包括：一试难度的不等式，解析几何和复数。

　　3.进阶书单

　　数学奥林匹克小丛书俗称“小蓝本”，这套书共 18 册，包括《集合》、《函数与函数方程》、《三角函数》、《平均值不等式与柯西不等式》、《不等式的解题方法与技巧》、《数列与数学归纳法》、《平面几何》、《复数与向量》、《几何不等式》、《数论》、《组合数学》、《图论》、《组合极值》、《数学竞赛中的解题方法与策略》等，力图用各种方法介绍数学竞赛中的 18 个专题，书中有对基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法的讲解，还有由基本问题派生出来的教学方法和应用，相对易懂。

　　数竞书籍推荐：（不断更新，大家也可以补充）

　　《奥数教程》

　　《数学奥林匹克小丛书》

　　《奥赛经典》

　　以上收集，若有不全（不对）之处，敬请指点！

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