七年级复习备考:动角问题探讨

栏目:基础教育  时间:2022-11-30
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  七年级动角问题:寻找旋转中的数量关系

  动态几何图形的数量关系,对于七年级学生来讲,稍有难度,刚刚从小学经过一学期的适应,几何刚刚入门,所涉及到知识点很少,角的计算,角平分线等。纯粹从静态图形看,这些并不复杂,然而一旦运动起来,尤其在旋转过程中,再去寻找数量关系,难度陡然上升,要么多种情况未考虑周全,要么直接就转晕了。而要解决好这些问题,则需要在草稿纸上多作图,如果平时这种功夫花得多,真到考场上,脑子里作图,角在心中动,那无疑最佳。

  题目

  已知点A,O,B在一条直线上,将射线OC绕O点顺时针方向旋转90°后,得到射线OD,在旋转过程中,射线OC始终在直线AB上方,且OE平分∠AOD.约定:无论∠AOD大小如何,OE都看作是由OA、OD两边形成的最小角的平分线.

  (1)如图1,当∠AOC=30°时,∠BOD=_________;

  (2)若射线OF平分∠BOC,求∠EOF的度数.

  解析:

  (1)给出特殊角度计算,初步了解题中角之间的联系,为后面动角打基础。∠AOC=30°,而且旋转角∠COD=90°,于是求得∠BOD=60°;

  (2)本题难点在于射线OE的位置,而射线OE位置又取决于∠AOD,当我们在备用图中作图的时候,会发现,虽然题目限定了射线 OC始终在直线AB上方,可没有限制射线OD,毕竟经过顺时针旋转90°后,射线OD有可能到直线AB下方,那么麻烦就来了,通常我们在学习角平分线时,教材声明是小于180°的角.

  ①当射线OD在直线AB上方时,此时∠AOC为锐角,即∠AOC<90°,作图如下:

  ∠EOF到底和哪些角关联呢?似乎图中角都能和它产生联系,我们选择的原则是尽量与已知条件相近。因此选择∠EOF=∠DOE-∠DOF或∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF,为了方便书写证明过程,不妨设∠AOC=x,推导如下:

  ②当OD与直线AB重合时,此时∠AOC=90°,显然∠AOD是一个平角,根据约定,它的角平分线OE与OC重合(注:为什么不是OC反向延长线?后文解释),如下图所示:

  此时∠EOF=45°;

  ③当∠AOC>90°,即它是一个钝角时,情况又有不同,此时射线OD位于直线AB下方,如下图所示:

  根据约定,OE是∠AOD的角平分线,它也在直线AB下方。此时∠EOF可看作三部分构成,即∠EOF=∠DOE+∠BOD+∠BOF,推导如下:

  综上所述,∠EOF=45°或135°.

  说明:关于角平分线定义,人教版七年级数学上册教材135页原文“一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线。”,仅仅从这个定义描述出发,尚不足以说明当∠AOD为平角时,为何射线OE和OC重合,而不是它的反向延长线,于是我们又找到教材中关于角的定义,在第132页,原文“有公共端点的两射线组成的图形叫做角”,可对于题中的平角∠AOD而言,仍然有可能是指下方部分,直到同样这一页教材中,另外一段描述“角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。”

  图中的∠AOD,就是这样形成的,因为题目描述中,规定的旋转方向为顺时针,即可以看作是射线OD从射线OA出发,顺时针旋转构成的图形,这也可以解释角的内部始终在直线AB上方,因此当射线 OD与射线OA变成平角的时候,它的角平分线OE和OC重合,而不是OC的反向延长线。

  而一旦射线OD到直线AB下方,初中阶段未经特别说明,通常是指小于平角的角,因此∠AOD在直线AB下方,因此角平分线OE也在直线AB下方。

  解题反思

  本题理解上的主要困难在于对于动态角的把握,特别是旋转后超过平角时,角平分线位置发生了改变。同时这道题目也深度考察了学生对角的概念的理解,一般而言,角的定义我们通常用“有公共端点的两条射线组成的图形”,而很少用“一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”,恰恰后者,就是从动态角度来解释角的概念。

  七年级阶段,对于角的认知,除了度数关系之外,更多的是位置变化,在七年级下学期的平行线与相交线乃至八年级的全等三角形,无不对各种位置的角进行辨识、计算,因此,角的概念是否掌握牢固,非常重要。

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