数学教育的关键所在：探究阅读、计算推理、思辨交流、快乐学习

　　数学教育的关键所在：探究阅读、计算推理、思辨交流、快乐学习

　　——与美国国家奥数队总教练罗博深教授的对话

　　文 / 袁智斌, [美]罗博深

　　摘要：美国国家奥数队总教练、卡内基梅隆大学教授罗博深在应邀到深圳科学高中讲学期间，接受了本文作者袁智斌关于数学学习经验与数学教学方法等方面的专访。通过此次对话，我们可以进一步了解罗博深教授独到和具有启发性的数学学习经验与数学教学方法，并揭示出数学教育的关键所在，即探究阅读、计算推理、思辨交流和快乐学习。

　　关键词：美国国家奥数队总教练 ; 罗博深教授 ; 数学学习经验 ; 数学教学方法

　　作者简介

　　

　　

　　罗博深，美国国家奥林匹克数学竞赛队总教练、卡内基梅隆大学数学系教授。

　　

　　袁智斌，陕西师范大学教育学部博士生，深圳外国语学校正高级教师，深圳大学暨华南师大硕士生导师。

　　目录概览

　　

　　一、前言

　　二、对话实录

　　三、总结与反思

　　01

　　

　　一、前言

　　数学教育与人才培养，特别是数学教育与创新人才的培养是世界各国都十分关注的话题，也是广大教师与家长十分关注的重要问题。在2015—2019年间，罗博深教授4次带领美国国家奥数队获得了国际数学奥林匹克竞赛（IMO）团体冠军。作为美国国家奥数队的总教练和一名IMO银牌得主，他还一直奋战在从小学到研究生数学教学工作的第一线。罗博深教授的成长过程、数学学习经验与数学教学方法是数学教育研究的重要对象与典型案例。

　　2018年3月13日，罗博深教授受邀到深圳科学高中进行考察，并发表了关于数学教育的讲座。在考察结束之后，应陕西师范大学博士候选人、深圳外国语学校（集团）正高级教师袁智斌的邀请，罗博深教授接受了本次专访。专访的现场实况录像和录音由深圳科学高中信息中心任亚捷和马裕老师负责。

　　深度访谈有助于了解情况、寻找方法、揭示规律和探究深层原因。在本次专访中，袁智斌与罗博深教授双方就儿童数学启蒙、数学学习经验、数学教育、奥数培训、家庭教育、数学能力与人才培养等话题进行了对话交流，从中进一步了解到罗博深教授独到和具有启发性的数学学习经验与数学教学方法。

　　本文主要在数学学习经验与数学教学方法等方面，与罗博深教授展开对话，并在最后对本次对话加以总结与反思。

　　02

　　

　　二、对话实录

　　（一）探究阅读：猜想探究与计算推理为特征的数学教材与疑难问题解答的探究阅读方法

　　袁智斌：当您在中小学读书的时候，您应该既解答过常规题，又解答过您当时不会的一些难题。对您而言，当时解答常规题的主要目的可能是熟悉数学知识方法与提升您的解题速度，或者训练解题格式；而对那些您当时不会的一些难题，特别是那些看上去一点思路都没有的题目，您当时是怎么探索解答的?您有哪些难忘的解答难题方面的经验、感悟或案例?

　　罗博深：如果让我回头看一下我自己的成长经历，特别是我自己小的时候数学解题经历，其实印象最深的就是当时遇到那些难题的解答探索过程了，我至今都还记得。如果当时解答的只是一般的题目，现在就没有什么印象了；但对自己当时花了好大劲才解决的问题或者才发现正确解答思路的题目，自己至今都还记得那些难题以及自己当时思考那些难题的过程。我的经验是，如果自己真的要学东西，就需要跟学习内容来竞争一下。如果自己从来都没有经历过与难题竞争的苦思冥想的深度思考过程，而是只解答一些不需要认真思考的常规题，其实那不是真正的数学学习，那只是凭记住了常规习题的解题套路来照猫画虎地机械解答曾经见过的类似的题目而已。我印象最深的数学学习过程就是我以前与所遇到的各个难题的竞争过程。我的意思是，有一些当时经过自己独立思考探索的难题至今都还记忆犹新，就是因为当初我做不出来或经过探索后才成功解答出来，而这些题目至今都还记得。

　　袁智斌：您还记得当时探索那些难题的具体经历吗?

　　罗博深：是的，至今还记得。在我的数学学习中，我会对那些难题进行探索，特别是我在大学学习数学定理或对数学定理进行证明时，我也是把大学数学教材上的那些定理和定理的证明当成题目来进行独立探索的。在大学的数学教材中往往都是先呈现新的定理，然后再给出新定理的证明，接着又是一个新的定理，然后又是定理的证明，即大学数学教材中没有那么多的例题。大学数学教材上的很多篇幅都是数学定理，以及对它们进行证明的内容。大学数学教材定理证明中的那些字词、那些句子，其实都是晦涩难懂的，因为读者常常不知道书上那个定理的证明为什么要这么写，读者会感觉书上定理的证明咋那么奇怪。所以我的方法就是，先看那个定理说的是什么内容，以及那个定理的证明长度，以此来估计那个定理证明的难度。然后就合上教材，开始思考那个定理的证明。我自己在探寻定理的证明中，有的时候要想一两个小时。如果成功了，我就会永远记得那个题目的证明过程；如果不成功，我就看教材的证明中我想不出来的那几句话是怎样写的，然后我又合上教材，自己又来独立思考。如果还不成功，我再打开教材看卡壳的地方。如果你们也坚持这样做，相信你们也会把书上那些定理的证明过程全部都想出来的。当自己回过头来看书上那些在之前思考中卡壳的部分时，会有一种成就感，进而会从中积累解题经验，同时以后也不会忘记那个定理的证明为什么是那样的。我为什么要先看定理证明的长度呢?如果看到定理的证明就这么长（备注：罗博深教授用手比划了一个较短的长度），我就知道我的方法太复杂。如果看到证明是这么长（备注：罗博深教授用手比划了一个较长的长度），我就知道不能用太简单的方法来解决了。我以上所说的学习数学的经验，就是想让大家明白，大家都可以用我刚刚说到的这种解决难题的经验或方法来学习大学数学教材上的定理证明，从而就不会被动地去看教材上那些证明的内容了。

　　袁智斌：也就是说，当我们看到数学书上的定理后，不要急着去看其证明过程，而是要尽量自己想办法去证明。

　　罗博深：对的。自己先独立思考并证明后，再看教材上对那个定理的证明。因为如果自己已经把那个定理的证明问题解决了，然后再看教材上的证明，那就都明白了；否则要是未经思考就去看教材上的证明，那就不一定知道为什么应该是从那个地方开始证明的。

　　袁智斌：原来您把数学阅读看成一种探寻数学结论的过程。阅读中您常常思索别人是怎么想出那个证明的，并独立探寻那个定理的证明思路与方法，经过努力，您最终独立探索出来了，从中您就非常开心与更加自信。

　　罗博深：是的。我就是用数学探究与计算推理等方法来阅读数学教材的。

　　（二）思辨交流：学生除了认真听讲外，还须主动学习、猜想探究与思辨交流

　　袁智斌：那您刚才谈到了家庭教育、学校教育，和您在小学、初中、高中和大学里的学习过程，以及您的博士阶段的学习。请问在小学阶段，您觉得还有什么往事值得回味?

　　罗博深：我是在美国长大的。美国的小学、初中，包括幼儿园都不要学那么多数学内容的。所以我记得在我上小学的时候，我就是在家里学习数学，在学校里我就学会跟别的小朋友沟通。由于我已经会做数学课堂上正在教的内容了，老师就帮我找了一间教室去学习新的内容，而当时那间教室里有几台电脑。那时候电脑也才刚刚开始进入学校，老师也不太清楚如何正确使用电脑，就好像二十多年前大家刚刚接触MS-DOS系统一样，电脑显示器上显示的都是一些字符或者数字，谁都不知道这些字符或数字是干什么用的。我就是从那时开始接触电脑，并由此逐步了解到怎么编程的。其实小学阶段我就觉得学会跟别人沟通交流是非常有用的。所以我们在美国小学里就主动和同学们一起交流。

　　袁智斌：您从小学就开始和同学一起讨论？

　　罗博深：不能说是讨论。小朋友，不知道什么讨论，我们就是相互打招呼，和说说话。

　　袁智斌：那您能回顾一下当时小学的数学课堂教学流程是怎样的吗?

　　罗博深：这个问题我不大清楚。因为当时我是在家里学习小学数学的，而不是在数学课堂上学习数学的。我的同学在课堂上学数学的时候，我在另外的教室里学习别的内容，所以我不太知道美国小学阶段的数学课堂是怎么样的。

　　袁智斌：也就是说，您在上小学的时候就是在家里学习数学的?

　　罗博深：小学阶段，我回家后就在家里学数学。

　　袁智斌：老师们允许您当时在学校不上数学课吗?

　　罗博深：就我个人经历来说，如果一名学生已经对课堂上所要讲授的内容全部都学会了，学校就会想办法来给他安排别的教学内容进行新的学习。因为那时我已经会了小学数学，老师就带我到别的教室，我就有机会来学习电脑。别的同学在课堂上学习的加减乘除，我当时已经都会了，于是我就有机会去学习其他的新内容，训练新技能。

　　袁智斌：美国的小学数学教学中，只要学生已经达到了课程教学要求后，就可以自由开展学习了吗?

　　罗博深：这样说也不太对。我那时的老师们常常会这样想：我们可以给那些已经学会课堂教学内容的学生提供哪些帮助，来促进他们开展新的学习？有一年，我好像热衷于思考一些没有数字但需要运用逻辑的一些内容，也有一年热衷于做一些有关电脑编程的事情。当有一些学生已经学会并掌握了小学数学的知识后，老师们就会为那些同学找别的新教学内容来让他们学习。

　　袁智斌：小学阶段的数学课您就基本上没有上，那初中呢?

　　罗博深：初中的时候，我就开始跳级；但不是全面各科都跳级，我和同年龄的同学一起学英语跟历史等；而数学和科学这两门课程，我就跳到上一年级进行听课学习，并与那个班的同学一起学新的东西。其实那时候我已经学到一些在家还没有学到的东西了。在我所了解到的大多数美国课堂上，老师都是先用一点时间来解释新的知识点，然后就用很多时间让大家在课堂上来做练习题。因为我已经有这些数学知识与相应的解题经验了，所以大部分时间里我自己就很快做完数学题。做完了题目以后我就帮旁边的同学做那些他们认为比较难的练习题，或者如果他们碰到困难时，我就帮旁边的同学来探寻那些难题的解答方法。帮助他们学会怎么做那些难题，我就好像老师一样对这些学生进行辅导。那是很有意义的，因为我很喜欢帮助别人。从小学、初中起，我就开始为别的同学解答数学疑难问题了。

　　袁智斌：请问您自学数学，跟您给别人解答一道数学难题，这两者之间有什么差异?

　　罗博深：如果自己做一个题目，可以有自己的思路。如果我帮别人答疑的时候，我就会先问那位同学，你现在的思路是什么。如果他用了另一个解题思路，我就会告诉他，如果考虑某一点的话，你就会发现你的这条解题思路为什么不行。解答一道题，往往既有正确的思路也有错的思路。若你能快速发现哪条思路有问题，就可以省很多时间。我帮助别人不只是告诉别人最快的那条思路，而是要帮助他们了解他们现在用的思路有什么问题。

　　袁智斌：您自己做一道题，跟给别人讲解一道题，在思路和方法上有什么不同?

　　罗博深：在为别的同学讲解疑难问题的解答过程时，他会有疑问，他可能会问这一步为什么是这样的，他也可能会问你刚说的那一句真的对吗。在为别的同学解答疑难问题的时候，不是自己独立解题，别人会问这一步为什么，别人会自己思考与提出疑问。给别人讲一道疑难问题的解答过程，比自己单独做一道题的效果会更好一些，因为别人的提问或质疑会促进我进一步思考与理解那道难题的数学本质。因此，给别人讲难题的解答过程就变成了一个讨论。

　　袁智斌：给同学答疑讲解中的质疑与讨论，又帮助您修正不足并增强您数学思维的严密性，还促进了您的反思，加深了您的理解，这应该就是您一直主张同学之间应多进行讨论的原因吧。那您在高中阶段呢?

　　罗博深：我上高中的跳级情况也和初中差不多。我也是在数学和科学两门课程上跳了一个年级。我也是在做完数学作业后就去帮助同学解答难题。相比初中而言高中会自由得多。我的意思是说，美国的高中学生可以选择自己想上的那几门课，可以选课并决定自己怎么上课。比如，我上高中的最后那年，我就只选了四门课。这样我的课程就比较少，空闲时间就比较多，于是我就用那些多出来的时间来做自己喜欢的事情。美国高中也有许多课外活动。比如，我在高中参加了课余辩论活动。因为我觉得有条理地说话其实非常重要，所以我就参加了课余辩论活动。到现在我都还常常感到当年高中阶段参加课余辩论活动形成的能力与积累的经验都是很有用的。因为有了当年课余辩论的经验，在讲课中我就可以更容易地解释我自己真实的想法，尤其是自己的独立思考所得。如果我跟别人讨论问题，而且若我要说一句话，我就可以很快地说出我自己想说的话。换言之，我并不是课前仔细详尽地准备我的讲课语言，我不是考虑上课时要先说这一句，然后再说那一句。因为我懂数学，我知道应该怎么讲授那些数学内容，再加上我有高中课余辩论的经验，因此在课堂上我就可以快速、精准和深入浅出地进行讲解。所以说高中课余辩论的经验和数学思考能力综合在一起，我就可以快速、有效地进行数学教学了。我可以针对课堂上的教学内容与学生们的现场反应，当时想说什么，就可以立即说出来。

　　袁智斌：课余辩论在提升您的语言能力的同时，也还促进了您的思考，促进了您的思辨能力，这是非常好的。您还记得您当时的数学老师是怎么上数学课的吗?

　　罗博深：美国高中的数学课堂，有一部分就是解释一个新的知识点，有一部分是来讲评昨天的课后作业，还有一部分是在课堂上再做一点练习。当然每个老师的数学课堂教学都不尽相同，但基本上都有以上这三个部分。

　　袁智斌：关于美国中小学数学课堂教学的三个组成部分的具体内容，您可以再具体说一下吗?

　　罗博深：第一个就是，先讲评昨天的作业；第二个就是，讲授新的数学知识点；第三个就是，进行数学课堂练习。因为学习数学，不可能只是听别人讲，而必须自己亲自独立解答数学题目。我想其实全世界的数学课堂教学大致都是由这样的三部分组成的。

　　袁智斌：关于讲评作业，您觉得应该是老师讲好还是学生讲好?

　　罗博深：有的老师让学生讲得多一些，有的让学生讲得少一点，每一个数学教师的课堂教学方式方法都是不一样的。我自己个人觉得最好是让学生先说，老师再点评与重复说一下，这样效果就会更好一些，也是最好的。

　　（三）快乐学习：快乐体验，突出学生主体地位，加强过程教学，多给学生思考时间

　　袁智斌：您既熟悉美国数学教育，您也了解一些中国的数学教育。若我们要给学生提供更加优质的数学教育的话，请问您可以给我们中国的数学老师提什么建议呢?

　　罗博深：我觉得中国的数学教师都是非常好的。如果要我给中国数学教师一点建议的话，就是教师上课中要给学生更多的时间来锻炼他们的思考能力。我的意思是，如果学生只是为了准备考试，那么他们主要是来学习解题方法和解答常规习题套路的。当这些只注重学习数学解题套路的学生在解答试卷上数学试题的时候，往往只会照搬以前学到的常规习题的解题方法来解答那些似曾相识的题目。若一个人只会用套路而不会现场独立思考问题的话，那就没有学习到思考问题的方法。数学教师要选择哪些题目来当学生作业?如果你选择那些需要更多思考时间的题目来当作业，学生们就有更多的机会来练习寻找解题思路的方法与技能。在数学学习中，学生需要努力培养自主、独立和深入地思考疑难问题的能力与习惯。注重并坚持做好这些，我想就会更好。

　　袁智斌：您对我们中国学生的数学学习有哪些建议?

　　罗博深：我觉得中国大多数中学生都是非常好的。很多数学题目他们都会做。我今天讲座的时候，有一个同学在提问环节中说他以前学习数学比较快乐，现在对学习数学好像不太快乐了。所以我的建议就是，如果可以让他们再次感受到数学学习的那个快乐体验，那就更好。其实对我来说数学学习的快乐体验就是我真正想了解数学内容的内在动力，真正有数学学习与研究的成就感，真正好像碰到一个新的问题被自己解决了。如果更多人有这种数学学习与研究的快乐体验或经验，那就会有更多人可以做得更好。

　　为此，我建议教师们应该通过激发学生的数学学习兴趣并让他们快乐学习来帮他们提高其数学成绩。当学生们都学会了思考数学问题的方法时，他们今后的成绩就会变得更好，所以数学学习的兴趣与学习成绩两边都应该受到关注与重视。

　　袁智斌：请问是否需要我们的学生进行超前学习?

　　罗博深：超前学习，我觉得比较有用的就是要超前让学生们学会努力。我的意思是说，在美国，那些学习奥数的学生，有很多人是到了高中以后才开始学习需要长时间思考的那些证明题的。那么，当他们从原来只习惯解答初中以计算为主、不需要长时间深度思考的竞赛题而转到解答高中需要深度思考的奥数训练的证明题的时候，他们可能会一时很难转过来。因为美国的初中数学竞赛主要是用快速算数来解答不需要长时间思考的计算题，所以初中数学竞赛相比高中数学竞赛而言就比较简单和比较好玩，从而到了高中数学竞赛阶段，他们就不大习惯努力深入地思考数学难题。当他们在大学里面继续学习数学时，若他们从小就学会了深入思考问题的方法，那他们就可以习惯需要思考半小时或以上的那些大学数学证明题或数学定理证明了。

　　袁智斌：您对我们的数学教师有什么教学上的建议?

　　罗博深：我觉得你们的数学教师都是非常好的。今天下午前来参加我们的数学教育报告会的老师们都非常好。我觉得数学教师专业化成长的最有力、最持久的内驱力可能就是教师自发自觉地一直在寻找新的教学方法。因为世界上没有一个人是最好的，所以如果你可以整天来考察和了解大家在干什么以及大家是否采用了什么新的思路与方法来开展教学工作与教学研究，那你就可以创造出自己的更好的教学方法了。我就是通过到世界各地的讲座并从中考察和了解各地的老师是怎么做的，从而学习到了一些新的东西。我今天来到你们这里，希望可以为你们带来一些从外面学来的新的教学方法。如果大家经常留意观察别人是在干什么以及别人又采用了什么新的思路与方法来开展教学或进行新的研究的话，就可以见贤思齐而不断学习和进步。

　　（四）勤奋努力：专心致志、深度思考又统筹安排时间

　　袁智斌：您几次都讲到了真正的努力。您从小的时候就知道要努力，后面也非常努力。那您能帮我们再简单讲讲这几个阶段的真正努力的含义是什么吗?

　　罗博深：对于小朋友而言，如果他愿意坐下来静静地思考问题就是一种努力。因为小的时候我们大家都喜欢出去玩，对不对?但我很小的时候就可以安静地坐下来长时间思考数学问题。当我准备参加初中数学竞赛时，我发现在思考问题中我可以让头脑动得更快。正如要步行一段距离，既可以用普通的速度，也可以用快跑的速度。头脑想问题也是一样的。你在思考问题时，你也可以让头脑用“快跑”的速度进行思考，以便用更多的力气来专心思考问题。我觉得我自己最努力的时期是上博士研究生阶段。我是本科毕业之前的那一天结婚的，所以我在念博士的时候已经生了两个孩子了。那时候我的时间是非常紧的。那种努力就是说每天只有二十四个小时，但每一个小时的工作、学习与休息都要排满。我当时既注重专心思考问题，也很细心地把时间排满，不浪费时间，每一分钟都要抓紧。

　　（五）教学视频：让学生课余观看并体会数学是有趣的

　　袁智斌：您今天下午为深圳市的数学教师们所做的教学讲座中播放了一个勾股定理教学视频。请问您们在美国课堂教学中一般是怎么使用教学视频的?

　　罗博深：今天下午的讲座中使用的那个视频其实不是供老师在课堂上用的。我们所制作的那个视频其实是让学生课外观看并从中感到数学是有趣的。那是我们的一种课余数学教学辅导方法。大部分美国教师都不是在课堂中播放视频的，大部分老师都是自己讲课。学生回到家可能还要复习一些数学知识点。在美国和在中国现在都有许多网上课程。在美国这些网上课程有很多都是免费的，其实有很多美国高中学生如果在家不会某些数学知识点，他们就会上网来看一下这些数学知识点的教学视频。所以我们制作的这个视频不是供课堂教学之用的，我们制作的这些视频是让学生课余来看数学是有趣好玩的。

　　袁智斌：请问您当时是怎么想到录制这个勾股定理的教学视频的?

　　罗博深：制作这些视频是我自己想到的。我当时是这样想的：如果我们真的要大家都喜欢学习数学的话，我们可能还需要从广告中来学习一些教学方法。广告是要你买什么东西的，而我不是要学生买什么东西；我们是“卖”数学爱好的，如果我们想要让学生们都喜欢学习数学，那我们应该怎么做呢?让孩子们在视频中看和他们一样的人是怎么学习或研究数学的，你看我们录制的勾股定理教学视频上的主角不是老师而是两个高中学生。让孩子们在我们录制的视频中看到他们自己或他们的同龄人怎么愉快地学习数学，对不对?那是一个部分。另外一部分也是很重要的，那就是要让他们感受到学习数学是很开心的。在很多电影里，有些数学家被塑造成奇怪或者有神经病的样子。我们要介绍数学学习中大家应该怎么讨论数学问题，以及引导大家向教学视频中那些人那样享受数学学习的快乐，同时我们制作的视频中也包含了一些数学知识点。因为我知道很多人，平时利用搜索引擎来寻找所需的数学知识点，比如勾股定理。据我所知，每一个月大约有十万多人次利用搜索引擎来检索勾股定理。于是我就想把勾股定理拍成数学教学视频。如果我们把这个视频打包上传到网上，就会有很多人检索到我们拍摄的勾股定理教学视频。不是我一个人来拍那个勾股定理教学视频的。当然我是数学家，我就带领一些人来制作数学教学视频，找一些人来帮我们写对话，我负责数学内容应该怎么样呈现，然后再找一些会拍摄电影的人来参与拍摄工作。所以今天下午在讲座中播放的那个短视频看起来是比较成功的数学教学视频。

　　（六）教学PPT：“无字”PPT更利于教师讲解与课堂生成

　　袁智斌：我发现您在今天下午的讲座中没有用写有文字说明的PPT，而是用现场手写的方式来授课。试问您为什么要用现场手写和现场演算的方式来开展数学教学呢?

　　罗博深：其实我喜欢用现场手写教学内容的方式来讲课，因为我在现场教学中常常会改变我自己原计划想说的话。我的意思就是说，我要看听众现场的反应。如果我的解释大家都已经听明白了，那我就要比较快速地往下讲了，或者我可能就要跳过去讲新的内容了。如果我事前准备了一个写有文字说明的PPT，现场跳过那些大家都已经明白的内容是很突兀和很难的。但是更难的是，如果现场讲解中发现大家不太了解我刚刚说的话或所讲的内容，如果继续使用事前写有文字说明的PPT，就不方便更换要讲的话。同时，如果你临时需要添加新的东西进去就更不行了。所以，我最喜欢用现场手写方式授课，因为我每写一句后，来看大家学得怎么样，如果大家理解了，那我就现场快速跳过去。其实今天下午我的讲座中也用了没有文字说明的PPT。你可以看到我用的那些PPT上没有具体的数学教学内容，甚至一个字都没有。因为那些PPT上都是照片。我讲过了许多讲座，我每次都是用照片来制作PPT的，这样可以简明直观地呈现讲座内容，并且我始终都不在那些用照片来制作的PPT上面事先写上具体的教学内容，以此来帮助我讲解相应的数学内容。若大家在现场听讲中理解了我说的，我就要跳过去；要不然，我就不能临时根据听众的反应来随机应变地调整要说的话或修改教学内容，也不能根据听众的反应来说其他更加贴近现场听众的数学内容。所以在每次讲座中，我都希望根据大家现场听讲的反应来选择最合适听众的讲座方式，并及时进行现场调整。

　　（七）数学教育的价值：让学生学会思考

　　袁智斌：请问您认为我们为什么要学习数学?学习数学有什么好处?

　　罗博深：学习数学的好处就是它可以教你学会怎么思考问题的方法。如果你很会解答数学疑难问题，那你就很会分析与思考问题。如果你会分析与解决问题，相信你的生活会比还没有学会思考方法的人要好得多。其实今天我给大家做的讲座，就是想让学生来真正理解数学。如果学生们能够用思考与研究数学的方法来分析今天下午讲座中的那些游戏的话，他们也可以赢我今天下午讲座中的那些游戏。我就是想用这些游戏来说明如何学会思考问题的方法的，这只是一个很小的例子。其实生活未必永远都是公平的，而是非常复杂的，所以你需要想出最好的那个办法来解决问题，而最好的那个办法是可以用数学思考得出来的。我认为数学跟想象力、思考能力是结合在一起的。

　　袁智斌：您讲得非常好！最后，您能总结一下今天所讲内容的要点吗?

　　罗博深：我希望学生和老师都一起不断地学习，因为我也一直坚持学习。希望大家一起去发现更多创新的数学方法，一种真正学习数学的思考方法，同时提升我们的思考能力。其实数学是想象力与思考能力的有机结合，如果把这两个结合在一起，我们就可以更好地学习数学、思考问题，也可以更好地帮助他人和服务社会。

　　袁智斌：感谢您今天跟我们进行了富有启发的深度访谈。特别是您谈到的在数学教学中，教师要科学地让学生通过解答一些需要深度思考才能解答的问题，真正地让学生去学习数学的思考方法而不是那些解答常规题目的套路，注重提升学生的思维能力，始终注意把想象力与思维能力有机结合；在数学教材的教学中，教师应该让学生先独立思考并自主运用猜想、计算推理等核心方法进行尝试证明后，才去看教材上的证明过程，从而将数学教材的阅读转变为具有数学探究与计算推理为特征、突出猜想探究与演绎推理的过程教学，这对我们今后开展数学教育具有十分重要的启发意义。非常感谢您，欢迎您有空再来深圳做客！

　　罗博深：谢谢！

　　03

　　

　　三、总结与反思

　　对于如何更好地培养创新人才的问题，我们除了从理论层面进行研究外，还应该从实践层面，特别应从对创新人才的个案研究中来进行突破。

　　（一）总结

　　罗博深教授既有深度思考与探究学习的经验，又有参加IMO并获奖的显著成绩，更有从事从小学至研究生阶段的全程数学教育教学的丰富经历。从这个意义来看，罗博深教授是数学、数学竞赛和中小学数学教育教学领域的难得的创新人才，他的成长过程、数学研究过程、数学学习经验、突出的竞赛成绩和独到的教学方法等都应该是我们中小学数学教育领域的难得的研究对象与典型案例。

　　1. 探究阅读是一种非常有效的数学阅读方式

　　罗博深教授以数学学习，尤其是在大学里学习高等数学定理的证明为例，详细谈到了他自己将数学教材的阅读变成数学思辨与数学结论探索的以计算推理为主要特征的猜想探究与演绎推理过程，这一数学学习经验与数学阅读方式对其数学素养与数学能力的提升起到了积极的推动作用。

　　2. 独立思考、猜想探究、计算推理、思辨交流有助于深度的数学学习

　　罗博深教授在专访中认为，“如果自己真的要学东西，就需要跟学习内容来竞争一下”，这句话所阐述的主张是，我们在数学学习中应该开展以独立思考、猜想探究与创新研究，尤其是需要主动进行探究阅读、计算推理与思辨交流等方面的深度学习。

　　3. 课件（微课）制作与使用中应该关注的两个问题

　　（1）以现场演算板书为特征的过程教学比单向线性播放PPT更有利于促进学生独立思考与深度学习。数学课堂上是否应该使用写有文字说明的PPT?以及如何使用PPT?罗博深教授“喜欢现场手写”的做法值得借鉴，因为现场手写可以根据学生们的反应来及时调整教学内容与讲解方式。在这个方面，北京大学柳斌教授也表达过同样的观点：“用PPT去讲数学课对老师来说非常方便，基本上不用备课，但学生理解和接受起来就有很大困难，因为没有给学生留出反应时间。”可见，这是一个很有价值的做法。

　　学生的数学学习必须经历感知、建构与理解知识意义的过程，所以我们的数学教学必须尊重和遵循学生的认知规律。而当下某些“快速、高效”地单向播放PPT的教学操作在客观上违背了学生的认知规律，导致学生感知的信息过载，不利于学生的独立思考与猜想探究。

　　（2）揭示本质、激发兴趣应是“微课”制作与使用的价值取向，但“微课”不能完全替代教师讲授。罗博深教授认为，“视频其实不是供老师在课堂上用的”，而主要是让学生在课外“感到数学是有趣的”。这个观点可以引起我们对当下部分学校开展的“微课”教学，以及“微课”进课堂的一些不当操作进行反思。我们在“微课”制作与“微课”使用上，存在将教材上印刷的数学知识简单直白地变为PPT等的电子呈现、将本应由课堂上教师根据学生情况进行讲解点评的话语提前录音后在课堂上无视学生情况而机械播放、将本应师生互动生成出丰富多彩而又富有针对性的课堂教学变成了PPT单向线性的播放推进等等的不当操作，从而导致我们课堂上使用的“微课”缺乏趣味性、针对性、科学性，以及缺乏深入浅出揭示数学本质与规律的体现教师富有个性、智慧与人情味的解惑答疑的讲授，这既不利于发挥教师的主导作用，又容易导致形式主义或技术至上的倾向进而违背教育教学规律。

　　4. 教学中要多提供一些学生思考的机会与时间

　　知识建构需要时间，深度学习需要时间，问题解决更需要时间。罗博深教授认为，“如果要我给中国数学教师一点建议的话，就是要给学生更多的时间来锻炼他们的思考能力”。这个建议值得我们学习、采纳和反思，并帮助我们改进我们的数学教学，力求减少机械操作并同步增加自主学习、独立思考和思辨交流的时间与程度，即增加思维活动时间与思维深度。

　　在“超前学习”这个问题上，罗博深教授认为“比较有用的就是要超前让学生们学会努力”的观点也具有积极的参考价值。罗博深教授所言的“努力”就是主张学习者通过自主学习、深入思考来与其所学的内容进行“竞争”，即开展以独立思考、猜想探索、计算推理等为特征的深度学习，这为我们的家庭和学校开展“超前教育”提供了一个新的思路。

　　5. 兴趣是数学学习的内驱力、快乐是数学学习的润滑剂

　　关于学生数学学习兴趣的培养以及在“快乐学习”方面，罗博深教授认为最好的做法是让他们再感受到数学学习的那个快乐体验，在他看来，如果更多人有这种数学学习与研究的快乐体验或经验，那就会让更多人做得更好。这种观点对我们开展数学教育具有积极的启发意义。我们应在教学中充分激发学生的兴趣，切实让学生体会到对数学学习的思考和探究的乐趣，唤起其自信和逐步培养其自我效能。

　　罗博深教授认为，一个人若真正想学好数学就会想许多办法来努力学好，同时，他在谈到数学教材的探究阅读方法、数学教学视频制作，以及在给中国学生的学习建议中，都多次强调数学学习应该是快乐的。

　　基于此，我们在数学教材编写和数学教学中，应该把如何激发学生的数学学习兴趣和如何让学生切身感受到数学学习的成就感并由此产生数学学习乐趣摆在突出地位，通过激发数学学习的兴趣和让学生在数学学习中不断经历探索并获得成功，使学生体验到学习的快乐和不断形成自我效能，进而从中指导和帮助学生更好地学习数学、提升成绩、发展思维能力。

　　6. 数学课堂教学三阶段的划分

　　罗博深教授将数学教学划分为以下三个阶段：第一阶段，“讲评昨天的作业”，这体现了及时反馈原则；第二阶段，在“讲评昨天的作业”后才“讲新的数学知识点”，这体现与强调了应该在了解学生学习情况、及时帮助学生消除学习障碍并初步达到新学习的教学必备基础后才能开展数学新知教学的原则；第三阶段，“进行数学课堂练习”，这体现与强调了将所学数学知识内化为数学技能技巧所必须经历的训练、形成与提升过程。

　　7. 教师专业化发展的一个新思路

　　罗博深教授认为，数学教师专业化成长的最有力和最持久的内驱力可能就是教师自发自觉地一直在寻找新的教学方法，这个观点为我们的教师专业化发展提供了一个自强不息、树立目标、留心观察、见贤思齐、同伴互助、榜样引领、主动学习的新思路、新方法与新途径。

　　8. 数学教育的价值

　　罗博深教授认为：“学习数学的好处就是它可以教你学会怎么思考问题的方法。如果你很会解答数学疑难问题，那你就很会分析与思考问题。如果你会分析与解决问题，相信你的生活会比还没有学会思考方法的人要好得多。”这一观点进一步阐述了数学教育的价值所在。此外，罗博深教授还说：“希望大家一起去发现更多创新的数学方法，一种真正学习数学的思考方法，同时提升我们的思考能力。其实数学是想象力与思考能力的有机结合，如果把这两个结合在一起，我们就可以更好地学习数学、思考问题，也可以更好地帮助他人和服务社会。”他的这个观点启发我们要注重学生的数学想象力与思维能力的开发与培养。

　　（二）反思

　　在对罗博深教授的专访中，我们进一步了解他独到的数学学习经验、教学方法与教育观点，可以促使我们不断地进行教学反思。

　　1. 突出勤奋努力的教育价值取向

　　中小学生是处于不断学习与逐步成长的青少年。鼓励和引导中小学生养成勤奋努力、独立思考、猜想探究、深度学习和创新发展等的意向、毅力、能力、习惯与素养等，是教书育人，特别是数学教育中应始终追求的目标之一。

　　2. 充分发挥数学难题的教育功能，特别是处于学生最近发展区的数学难题的教育功能

　　应该科学精准地确定学生的最近发展区，并据此精心选编与学生最近发展区相适宜的难题，通过解答难题深化学生对所学知识方法的理解、对问题的研究，从而进一步提升学生解答难题的技能、积累成功解答难题的经验以及更好地促进其创新和发展。

　　3. 正确认识传统教学方法与信息技术各自的教育教学功能，并充分发挥二者互补融合的作用

　　信息技术有利于知识的可视化呈现，即信息技术可以动态、直观、高速与反复再现相关内容，这是信息技术的优势。但信息技术的这些特点在教学实际使用中容易导致学生感知的信息过载，这种教学内容一闪而过的高速呈现方式与操作方式又常常弱化甚至省略了教学过程，尤其是忽略了学生的感知、学习、思考和内化数学知识方法的必要过程，同时还有可能使教师忽视了在教学过程中对学生的数学想象力、深刻理解能力与思维能力的培养。而黑板、粉笔、现场演算与板书等传统的教具、教学手段与方式，虽存在短期的、显性的效率低下问题，但其实施速度或实施进程又正好和学生的感知、理解和掌握新知大致同步，从而更有利于学生想象力、理解能力与思维能力的培养，更有利于学生对其所学知识方法的感知、意义建构和掌握，而这正是传统教学方式方法的独特长处所在。

　　为此，我们应该深入数学教学一线，通过开展教学调查和教学实验研究等途径，正确认识传统教育教学方法与信息技术各自的教育教学功能，并将它们有机融合并充分发挥其各自作用。

　　4. 突出学生主体地位、注重思维训练、开展快乐学习应是课堂教学的价值取向

　　数学课堂教学应该怎么进行？既不能满堂灌，也不能形式化地浅层合作学习，而应在深入研究课堂教学的本质特征和必要的教学流程的基础上，注重过程教学，突出学生的主体地位，追求教学的针对性与有效性。

　　在过程教学中需要强调的是：首先，在知识习得阶段和解题阶段，应该有学生自主学习与独立探索的必要过程；其次，在自主学习与独立探索基础上应该引导或组织学生们开展思辨交流；其三，在相应的数学技能的训练与形成过程中，应该有学生对所学知识方法和形成的相应技能的反思、提炼与内化过程；同时，在数学教学中应该让学生们切身感知或感受到学习结果与进步，以及张弛有度、幽默风趣、主动思考、互动交流、快乐学习的课堂教学氛围。

　　简而言之，探究阅读、计算推理、思辨交流、快乐学习是成功的数学教育的关键所在。

　　罗博深教授这些独到的数学学习经验、教学方法与教学观点等具有一定的针对性与启发性，有助于提升我们对数学课堂教学的本质与规律的认识水平，促进我们改变观念与改进实际操作。同时，也为我们的数学教育，特别是通过数学教育开展创新人才的培养，提供了一些可资借鉴的思路与方法。