为什么这里不等式的范围在平方后变为大于等于零，可以严格推导吗？

栏目：基础教育时间：2023-07-16

　　

　　平方数非负。在不等式中因此可比，于是这些都是实数，实数取平方必然非负。初中反复强调的重点。

　　请记牢。

　　你画个抛物线 $y=x^2$ 图像就明白了.

　　严格证明就用 $0$ 隔开分段啊. 很容易证明的呀.

　　x＾2≥0，就这么简单。

　　可以由实数体系 $(\mathbb{R},+,\times,\leq)$ 的公理化定义的域公理和序公理推出。

　　(F) 域公理 : 略

　　(O) 序公理: $\mathbb{R}$ 是有序域

　　(O1)序的传递性: x?y, y?z?x?z.(O2)序可以决定元素: x?y, y?x?x=y.(O3)全序关系: 对任意的 x 和 y, x?y 或者 y?x, 二者必居其一 (可以都成立) .(O4)与加法相容: x?y?x+z?y+z.(O5)与乘法相容: x?0, y?0?xy?0.证明：

　　(1)lemma1 : $a\leq0$ $\Rightarrow-a\geq0$ 证： $a\leq0 公理(O4)\Rightarrow a+(-a)\leq 0 +(-a) \Rightarrow 0\leq-a$

　　(2) lemma2 : $x \in \mathbb{R}\Rightarrow x^{2}:=x\times x\geq0$ 证：i) $若x\geq0$ 则直接由公理(O5)得到

　　ii）若 $x\leq 0$ ,则 $x\times x=(-x)\times(-x)$ ，又由lemma 1, $-x\geq0$ 得

　　 $(公理O5) \Rightarrow (-x)\times(-x) \geq 0$

　　再根据公理(O3) 于是 lemma成立2.

　　取 $x=t+\frac{1}{2}$

　　于是 $\left( t+\frac{1}{2} \right)^2\geq0$ 证明完毕。

　　参考：于品数学分析讲义——实数的公理化定义

　　实数的平方都大于等于0,如果你是高中生，问如何推导的话，对高中生来说没什么严格推导的必要......

　　 $-\frac1 2\leq t+\frac1 2\leq\frac 3 2$ $\Rightarrow$ $0\leq (t+\frac1 2)^2\leq\frac 9 4$

　　如果你看到之后不觉得左边是0，你可能是这样的想的：

　　 $-\frac1 2\leq t+\frac1 2\leq\frac 3 2$ $\Rightarrow$ ${\color{red} {\frac 14}}\leq (t+\frac1 2)^2\leq\frac 9 4$ 的

　　如果你确实是这样想的，不妨画个抛物线y=x2，看看x在区间[-0.5,1.5]的时候，y的值域到底是什么范围。

　　

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