2019年江苏高考数学真题, 很多学生直接放弃, 学霸一眼看出方法

　　大家好！本文和大家分享一下这道2019年江苏高考数学填空压轴题。这道题考查了函数的周期性和奇偶性、函数的图像、数形结合思想、方程的解等知识。很多学生看到题目后就选择了直接放弃，而学霸一眼就能看出解题方法。接下来我们一起来看一下这道题。

　　

　　做这道题之前，我们先回忆一下本题涉及到的几个重要知识点。

　　1.函数的周期性：如果一个函数在定义域内的所有x都满足f(x+T)=f(x)，那么该函数就是周期为T的函数。另外需要掌握常见的T=2a的函数，如f(x+a)=f(x-a)、f(x+a)=-f(x)、f(x+a)=±1/f(x)等。对于周期函数来说，函数的图像可以由一个周期内的图像平移得到，所以画周期函数的图像关键就是找到一个周期的图像，然后平移即可。

　　

　　2.函数的奇偶性：如果一个函数的定义域关于原点对称，且满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，且满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数。对于奇函数或者偶函数的图像，我们通常先画出x＞0或x＜0的部分，然后利用对称性得到完整的图像。

　　特别需要注意f(x+a)=-f(x)与f(-x)=-f(x)这两者的区别，不要搞混淆了。

　　

　　3.方程解的个数：高中阶段，要求方程的解的个数，通常情况下是很难直接求解的，此时我们可以两方程进行简单的处理，使之变成两个可以画出函数图像的函数，然后利用数形结合来求解。数形结合是中学数学非常重要的方法，特别是在解决难题时有意想不到的效果，中学生一定要牢固掌握。

　　

　　回到题目。本题如果直接解方程f(x)=g(x)，那么需要先利用函数的奇偶性和周期性求出函数f(x)和g(x)在(0,9]上的解析式，然后再分段求解。这个过程非常复杂，特别是还含有参数，一不小心就会做错。而遇到这种不求解的具体值，而是求解的个数的情况下，数形结合无疑是非常巧妙的方法。

　　当x在(0,2]时，将f(x)的解析式两边平方，再移项得到(x-1)^2+y^2=1，其中y≥0，也就说此时f(x)的图像是以点(1,0)为圆心、以1为半径的圆的上半部分。又因为f(x)是奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称，从而得到f(x)在(-2,2]上的图像，也就是一个周期内的图像，然后平移就可以得到f(x)在(0,9]上的图像。

　　

　　方程f(x)=g(x)在(0,9]上有8个不同的解，也就是说f(x)与g(x)的图像在(0,9]上有8个不同的交点。前面已经画出了f(x)的图像，接下来需要画g(x)的图像。

　　画g(x)的图像时，我们先画确定的部分，即g(x)=-1/2这部分。同样是先画一个周期内的，然后利用周期性进行平移。可以发现，此时两个函数有2个交点，所以还需要f(x)和g(x)有6个交点。由于k＞0，所以函数g(x)=k(x+2)是一条过定点(-2,0)且向上的线段。此时结合f(x)的图像可以发现，只要g(x)与f(x)的图像在(0,1]有2个交点，则它们在(4,5]、(8,9]也分别有2个交点，从而满足8个交点的要求。

　　显然，x在(0,1]时，线段与圆相切时只有一个交点，而线段过点(1,1)时有2个交点，从而求出k的取值范围。

　　

　　虽然是选择压轴题，但是掌握方法后这道题其实并不难。你学会了吗？