新中考：菱形综合题详细解析，最后一问解法精彩纷呈，百家号首发

　　在历年各省份中考当中，菱形，一般不参与压轴大题；但菱形常作为选择、填空压轴题，有时还很难缠。

　　下面这道题，以菱形为载体，有一定的综合性，最后一问谁能掰扯清就算优秀！

　　明年中考的同学，以及正在学四边形的同学，您可挑战一下。

　　

　　学好四边形，在理解上下功夫，避免死记硬背。

　　凡见到菱形，该想到什么？

　　菱形是特殊的平行四边形，菱形继承平行四边形的性质。

　　对边平行，对边相等，对角相等，邻角互补，对角线相互平分。

　　区别于母体，菱形四条边均相等、对角线相互平分且垂直、对角线平分对角。

　　所以，菱形的判定注意常见两条：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相互垂直平分的四边形是菱形。

　　如果将菱形“拉直”，让它有一个角是直角，那就成了正方形，对角线变得相等。

　　故而，正方形是特殊的菱形。

　　其实，正方形也是特殊的矩形。当矩形的邻边相等时。

　　努力学，考进好大学！01新中考：菱形典型综合题

　　如图，菱形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，点P、Q分别是边AB、BC上的动点(P、Q不与端点重合)，且∠PDQ=∠BAD=60°，连接PQ、OQ，PQ交BD于点E。

　　现给出以下四个结论：

　　①△PDQ是等边三角形；

　　②PQ的最小值为2倍根号3；

　　③△PDQ面积的最小值是3倍根号3；

　　④当OQ⊥BC时，OD·OD=AP·DC；

　　⑤点P、D、Q、B四点始终在同一圆上；

　　⑥当△PBQ∽△DPA时，AP:PB=1:3；

　　⑦当CQ=3时，∠BEQ必为锐角，BE=3/4或1/4。

　　其中正确的个数有（ ）个。

　　A.7；B.6；C.5；D.4

　　本题附图。02结论①详细分析

　　△PDQ，关键特征是∠PDQ=60°。

　　DP与DQ是否总是想等？凭肉眼、凭私下测量，是相等的。

　　解任何题，请注意紧抓已知。

　　由已知，菱形ABCD中∠BAD=60°，则△BDA和△BDC均为等边三角形，对角线BD等于边长。

　　故，易得△DBQ≌△DAP，或△DQC≌△DPB。您说成旋转也行。

　　全等理由如下：

　　BD=AD且∠2=∠BAD=60°，

　　又∠PDQ=∠BAD=60°，

　　即∠4+∠5=∠4+∠3。

　　故由全等或旋转知，DQ=DP，夹角60°，则△PDQ是等边三角形，结论①正确。

　　结论①附图。03结论②的详细分析

　　由结论①的分析知，△PDQ恒为等边三角形。

　　故，欲求PQ最小值，只需求DP或DQ的最小值。

　　点D到AB的最小值？显然当DP⊥AB时。

　　此时，DP=DA×sin60°=2倍根号3。

　　故，结论②正确。

　　结论②附图。

　　重申一遍：在含有30°角的直角三角形内，斜边是最短直角边的2倍，较长直角边是最短直角边的(根号3)倍。

　　引申一下：在等腰直角三角形内，斜边是直角边的(根号2)倍。

　　牢记这两个小模型，在求解选择、填空非常迅速。解大题时也能快速。不用蹩脚的三角函数。

　　04结论③的详细分析

　　△PDQ的面积，啥时候最小？

　　恒为等边三角形，只需边长最小时。

　　由结论②知，边长最小值为2倍根号3。

　　根据上面总结的小模型，如下图，PH等于DP的一半，DH是PH的(根号3)倍，很快知道高为3。

　　由底和高，面积也很容易。

　　故，结论③正确。

　　注：请仔细看下面的附图，给出了等边三角形面积的快速搞定。

　　结论③附图。05结论④的详细分析

　　当OQ⊥BC时，让判定OD·OD=AP·DC是否成立。

　　做题，与求人办事一样，沉下心，找关系。尽量办成事，还得少花钱，更要为以后铺路。

　　结论④的分析。结论④附图。

　　做题，要时刻冷静。麻烦时不悲观慌乱，顺手时不得意忘形。

　　平静发挥，眼脑活跃；多动手写、别硬看；紧抓已知、别想过多。如此而已。

　　06结论⑤和⑥的详细分析

　　点P、D、Q、B四点是否始终在同一圆上？

　　由于△PDQ恒为等边三角形，△BDA是固定的等边三角形，所以∠6=∠7=60°恒成立。

　　故，结论⑤正确。

　　结论⑤附图。

　　假如△PBQ∽△DPA，顶点严格对应哈，则由对应角相等得：

　　∠8=∠DAP=60°且∠9=∠PBQ=120°。

　　这样，在△DPA中，两个角(∠9和∠DAP)的和就180°了。

　　所以，假设的、命题中的△PBQ∽△DPA根本不成立，更谈不上所谓的AP:PB=1:3了。

　　故，结论⑥不正确。

　　结论⑥附图。学好数学，在理解和分析上多下功夫。07压轴：结论⑦的详细分析

　　让判定当CQ=3时，BE=3/4或1/4。

　　CQ=3，则PB=3；AP=BQ=1。

　　凡是求或解线段长，如果不在圆里面，又没有直角，那么，首先要考虑到相似。

　　如下图，凭肉眼看，貌似△PBE∽△DAP。

　　理由：∠2=∠DAP=60°，∠4=∠5。

　　为啥∠4=∠5？

　　由(∠3+∠4)是△DAP的外角知。∠3=∠DAP=60°。

　　由相似得：PB:DA=BE:AP。

　　即3:4=BE:1，故BE=3/4。

　　BE第一种求法附图。

　　还可以这样求BE，略微麻烦：

　　先求出等边△PDQ的边长，再根据△DPE∽△DBP求出BE。如下图：

　　BE求法二的附图。求BE的解法二。

　　为了多学知识，下面我推出更多的解法。

　　求BE之解法三：面积法。

　　先搞清△BEQ与△BEP面积之比为1:3。

　　过点E作EM⊥BQ于点M，过点E作EN⊥PB于点N，由BE平分∠PBQ知EM=EN。

　　即△BEQ与△BEP的高相等，则二者面积之比，等于底边BQ与PB之比1:3。

　　再求△BEQ与△BEP面积之和即△PBQ的面积。

　　求BE解法三面积法附图。

　　顺便，解法三当中，转换一下，让EQ和EP分别作为△BEQ和△BEP的底边，高相同，故，EQ:EP等于二者面积之比1:3。即EQ:EP=BQ:BP，这正是三角形内角平分线定理。

　　求BE之解法四：建系法。

　　求BE之解法四，下接附图：建系法附图。

　　求BE之解法五：相交弦定理。

　　简要说。不是求出了等边△PDQ的边长PQ=根号13吗？结合EQ:EP=1:3，可得EQ和EP的长。

　　再由相交弦定理EQ×EP=BE×ED，也可求得BE。

　　那个BE=1/4是咋来的？

　　当CQ=3、BQ=1时，一切都是静止的。

　　当然，BE的长应该是唯一的。不应该出现BE=1/4。

　　但，下面的计算就能出现BE=1/4。看看吧。

　　如下图，咱把△BEQ拉出来、放大。

　　令人迷惑的1/4出世的附图。BE=1/4横空出世。

　　那，BE=1/4，究竟能不能成立？

　　不能。

　　为啥？

　　从解法五相交弦定理说起。

　　舍去BE=1/4的理由之一。还有理由：舍去BE=1/4的另外理由。

　　文末学习方法指导

　　将要参加中考的同学，年前冬仨月，是提升成绩的好机会。

　　年后各种毕业事情就多了，返春兼之容易困乏，年后没啥机会。

　　切勿贻误战机！

　　然后注意一点：抓基础。

　　不宜做过难的题。更不能做过多的题。多体会、掌握基础题。像本题。

　　尝试发散思维。

　　适应中考，关键注意尝试多种解法，学透学活。别贪着做新题。

　　尝试多种解法，学透学活。不做过多题。

　　作者简介

　　中共党员，中考数学命题组成员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理等科目。

　　专注教育领域，持续发布中考、高考典型压轴大题的详细权威解析。

　　期待您的评论、点赞、收藏、分享。

　　期待您的持续关注。

　　举报/反馈