2020年高考数学北京卷21数列压轴题解析

　　2020年北京卷高考数学导数和解析几何难度都不大，考查的都是常见的题型，无需给出解析，试卷第21题数列压轴题与前几年的压轴题目相比，难度降低了不少，数列作为压轴题可与函数，导数，放缩，不等式等具体专题进行结合，具体考查某些相关题型时并不是很难，类似于江韩国剧浙的数列压轴题难点在于处理问题的数学逻辑和数学思想，即如何把一个散碎的非常规题目转化为可用数学公式来表达的步骤，解决此类问题可比某些导数题型难多了。

　　条件1中的i,j,m均为整数，对于任意的i,j项，都有一个整数项与之对应，若数列不满足条件1，只需要找到一个反例即可，很显然(1)中当an=n时很容易找到反例，不满足恒成立，即不满足项数相除是一个整数。

　　关于(2),an是一个等比数列，相除即指数相减，指数相减之后依旧是整数，所以满足性质1，至于性质2，若将所证等式变成an·al=ak·ak，在等比数列中，根据性质只需要保证n+l=k+k即可，即给定任意的n≥3，都存在对应的用n来表示的k,l

　　第三问证明满足性质1,2的递增数列为等比数列，此时根据等比数列通项公式可知要分为两种情况，第一种为a1>0,q>1，第二种为a1<0,0<q<1，接下来需要分类讨论，这里只讨论第一种情况。

　　若a1>0,数列单增，则an>0,性质2中n的取值为n≥3，首先考虑n=1,2,3时数列的性质，根据性质2可得数列的前三项成等比数列，且公比大于1，如下：

　　接下来需要想办法把a4,a5，……表示出来，根据性质1令i=3,j=2,则根据前三项等比数列的性质可得：

　　可知a1·q是数列中的某一项，令i=a1·q,j=3带入可得第二个式子，以此类推可知a1·q^3,a1·q^4,a1·q^5,……均为数列中的项，如果再能证明出a1·q^3=a4,a1·q^4=a5，……即可证明出数列为以a1为首项，q为公比的等比数列，证明时可采用放缩法：

　　根据性质2，取n=4，可设a4=a1·q^A,由数列单增可知a4>a3,即a1·q^A>a1·q，所以A>2

　　又因为a1·q为数列中的项，那么如何确定a1·q这一项的位置，显然a1·q>a3=a1·q，

　　因为A>2,若a1·q这一项放到a3和a4之间，符合要求的就只有a1·q=a4，若a1·q这一项放到a4后一项，则2<A<3，加上A取整数，满足要求的只有a1·q=a4，所以此时可证得a4=a1·q,同理可证得其它项

　　所以可证得当a1>0,且数列单增时为公比为q的等比数列，另一种情况当a1<0时做法类似，不再给出。

　　综上所述：数列为等比数列

　　其实题目的难度在于证明a1·q和a3,a4的关系，根据单调性可知a1·q肯定在a3后面，只需要判断出a1·q和a4的大小关系即可，如果不用上面设a4的方法，可用反证法，假设a1·q>a4，再利用性质2和单调性证明假设不成立即可，过程如下：

　　总结：本题目的处理思路：

　　1.分情况讨论

　　2.根据性质2找到前三项的等比关系

　　3.根据性质1找到数列中的其他项，并证明其他项依次满足等比关系。

　　这种题目考查逻辑分析能力，与数列本身知识点关联不大，属于高考中难度较大的题目。

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