7种初中数学常用数学思想及典题赏析
德国著名数学家克莱因曾在他的《西方文化中的数学》中写道:数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。#数学#
不仅数学家体悟到了数学的魔力,就连希腊著名哲学家柏拉图都在号召:哲学家也要学数学,因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质,又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。
那么,作为初中生,如何才能学好数学呢?有人曾调侃:数学学霸和学渣最大的区别就在于是否会运用数学思想方法!数学思想方法是数学的灵魂和精髓。数学思想方法无论在数学专业领域、数学教育范围内,还是在其他科学中,都被广为使用。
一、整体思想
整体思想是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理。
例1 已知a-b=3,求2a-2b-1=____。
解析:把“a-b”看成一个整体代入,2a-2b-1=2(a-b)-1=5。
二、方程思想
方程思想是指在确定变量后,找到它们之间的关系,将实际问题转化成方程或不等式,通过建立方程模型来解决实际问题。
例2 一个凸多边形的内角和是外角和的2倍,它是____边形。
解析:由于任意多边形的外角和都是360°,而n边形的内角和是(n-2) 180°。设这个多边形是n边形,根据题意,得:(n-2)180°=2×360°,解得n=6。
三、函数思想
函数的思想是用运动和变化的眼光,分析和研究数学中的数量关系,从而建立函数模型,如一次函数、反比例函数、二次函数等,解决实际问题。
例3 某市出租车收费标准:不超过3千米计费为10.0元,3千米后按2.4元/千米计费。
(1)当路程表显示7千米时,应付费多少元?
(2)写出车费 y (元)与路程 x (千米)之间的函数表达式。
(3)小明乘出租车从家到人才市场,付费34元,求小明的车程。
解析:(1)当路程为7千米时,费用为10+(7-3)×2.4=19.6元。
(2)当x≤3时,y=10;当x≥3时,y=10+(x-3)×2.4,即y=2.4x+2.8。
(3)当y=34时,有2.4x+2.8=34,即x=13。答:小明的车程为13千米。
港澳剧四、转化思想
转化思想是指把我们遇到的问题由陌生知识转化为已学知识,化繁为简,化未知为已知,从而解决实际问题。
解析:把分式方程去分母转化为整式方程即可。
两边乘(x+3)(x-1)得:2(x-1)=(x+3),
即2x-2=x+3,
解得x=5。
经检验:x=5是方程的解。
五、类比思想
把两个(或两类)不同的数学对象进行对比,如果发现它们有共同特质,可以根据其中一个数学对象的特征来推出另一个对象的特征。例如通过研究正比例函数的图象、性质及应用,类比研究反比例函数的图象、性质及应用。
六、数形结合思想
数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑,或者把问题的数量关系转化为图形的性质,或者把图形的性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题形象化、具体化。“数无形,少直观,形少数,难入微”,利用“数形结合”可使要研究的问题化难为易,化繁为简。
七、分类讨论思想
分类讨论就是把研究对象按同一分类标准分成几个部分或几种情况,然后逐个解决,最后予以总结做出结论的思想方法,其实质是化整为零,各个击破,化大难为小难的策略。
例6 若等腰三角形的一个内角为70°,求它的顶角的度数。
解析:分类讨论:
(1)该内角为顶角时,顶角为70°。
(2)该内角为底角时,则顶角为:180°-70°×2=40°。
故顶角为70°或40°。
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