小学五年级几何题：非常难！不超纲求解：几何直观+旋转+分割

　　如图，为一道小学五年级几何面积题，非常难！

　　

　　图一

　　例1、正方形ABCD与正方形AFGH的边长均为10，两阴影部分面积相等，求五边形ABCGH的面积。

　　不超纲求解要求：不用三角形全等判定、勾股定理等初中知识。

　　一、化归：只需求△CEG面积

　　由于两阴影部分相等，也即

　　S凹五边形ABCEF=S四边形ADEF，

　　以及正方形边长为10可知，

　　S凹五边形ABCEF=S四边形ADEF=S凹五边形ADEGH=50。故例1问题求五边形ABCGH的面积，

　　可化归为：求△CEG面积。

　　二、E为CD和FG的中点

　　由几何直观和几何对称性，猜想：E为CD和FG的中点，并验证之。

　　由S凹五边形ABCEF=S凹五边形ADEGH=50，

　　以及S正方形ABCD=S正方形AFGH=100可知，

　　S△AFE=S△AFE=25。

　　进而由三角形面积公式可得，

　　CE=DE=FE=GE=5。

　　三、四边形CFDG为长方形、△CGD为直角三角形

　　如图二，在图一中连接FD、FC和DG，

　　由CE=DE=FE=GE=5，

　　即知四边形CFDG对角线相等且平分，故其必为长方形，也即△CGD为直角三角形。

　　四、OD=OF=PC=PG=FC=DG。

　　

　　图二

　　如图二，连接AE交DF、CG于O和P，由AF=AD及EF=ED可知△ADE按AE翻折后必与△AFE重合。故OF=OD。再由AF=AD可知AE垂直DF。

　　注意到∠ADE和∠FDG都为直角，可知∠ADO=∠CDG。

　　将△CDG绕D点顺时针旋转90°，记为△C'DG'。

　　由∠ADO=∠CDG，∠AOD=∠CGD=90°及AD=CD，可知，△C'DG'与△ADO重合。于是OD=OF=PC=PG=FC=DG。

　　五、以S△CEP为标准，将长方形按面积均为8份，则S五边形ABCGH=160。

　　1、S△CEG=2S△CEP，

　　S△CDG=2S△CEP。

　　2、S四边形ADEF=10S△CEP。

　　据此，求得S△CEP=5，从而S△CEG=10。因此S五边形ABCGH=150+10=160。

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